Номер 43.24, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.24. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3}$;

2) $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x}$;

3) $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3}$;

4) $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x}$.

1) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3}$.

При $x \to \infty$ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим каждый член числителя и знаменателя на старшую степень переменной, то есть на $x$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{2x - 5}{x + 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2x}{x} - \frac{5}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{2 - \frac{5}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$, значения выражений $\frac{5}{x}$ и $\frac{3}{x}$ стремятся к нулю, мы можем подставить их предельные значения:

$\frac{2 - 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

Ответ: 2.

2) Найдем предел функции $\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x}$.

При подстановке $x = 0$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{\operatorname{arctg} 0}{0} = \frac{0}{0}$. Для решения воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых функций: при $y \to 0$, $\operatorname{arctg} y \sim y$. Это означает, что $\lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{arctg} y}{y} = 1$.

Преобразуем исходное выражение, чтобы привести его к данному виду. Сделаем замену $y = 2x$. Когда $x \to 0$, $y$ также стремится к 0.

$\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{4x} = \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2 \cdot 2x} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{arctg} 2x}{2x}$

Теперь, выполнив замену $y = 2x$, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \lim_{y\to 0} \frac{\operatorname{arctg} y}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3}$.

Это предел отношения двух многочленов при $x \to \infty$, что приводит к неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, в данном случае на $x^2$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2} + \frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to\infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{3}{x^2}}$

При $x \to \infty$ выражения $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{3}{x^2}$ стремятся к 0. Подставляем их предельные значения:

$\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

4) Найдем предел функции $\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x}$.

При прямой подстановке $x = 0$ получаем неопределенность $\frac{\arcsin 0}{0} = \frac{0}{0}$. Для решения задачи воспользуемся эквивалентностью бесконечно малых: при $y \to 0$, $\arcsin y \sim y$. Соответствующий предел: $\lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}{y} = 1$.

Чтобы привести наш предел к этому виду, умножим и разделим знаменатель на 2:

$\lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{x} \cdot \frac{2}{2} = \lim_{x\to 0} \left( \frac{\arcsin 2x}{2x} \cdot 2 \right) = 2 \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x}{2x}$

Произведем замену переменной $y = 2x$. При $x \to 0$, $y$ также стремится к 0.

$2 \cdot \lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}{y} = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: 2.