Номер 44.1, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.1. Найдите производную функции:

1) $f(x)=2x+\sin x-3;$

2) $f(x)=\sqrt{x}-\cos x+2;$

3) $f(x)=\cos x+\sin x-\sqrt{2};$

4) $f(x)=x^3-3\sin x.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = 2x + \sin x - 3$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы, согласно которому производная суммы функций равна сумме их производных, а также таблицей производных элементарных функций.

$f'(x) = (2x + \sin x - 3)' = (2x)' + (\sin x)' - (3)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от линейной функции $2x$ равна коэффициенту при $x$, то есть $(2x)' = 2$.
• Производная от функции синуса равна косинусу: $(\sin x)' = \cos x$.
• Производная от константы (числа $-3$) равна нулю: $(3)' = 0$.

$f'(x) = 2 + \cos x - 0 = 2 + \cos x$.

Ответ: $f'(x) = 2 + \cos x$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} - \cos x + 2$ применим правило дифференцирования суммы и разности. Для удобства представим корень из $x$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$f'(x) = (\sqrt{x} - \cos x + 2)' = (x^{1/2})' - (\cos x)' + (2)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от степенной функции $x^{1/2}$ находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$: $(x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Производная от функции косинуса равна минус синусу: $(\cos x)' = -\sin x$.
• Производная от константы $2$ равна нулю: $(2)' = 0$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - (-\sin x) + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sin x$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \cos x + \sin x - \sqrt{2}$ используем правило дифференцирования суммы и разности.

$f'(x) = (\cos x + \sin x - \sqrt{2})' = (\cos x)' + (\sin x)' - (\sqrt{2})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от функции косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.
• Производная от функции синуса: $(\sin x)' = \cos x$.
• $\sqrt{2}$ является константой, поэтому ее производная равна нулю: $(\sqrt{2})' = 0$.

$f'(x) = -\sin x + \cos x - 0 = \cos x - \sin x$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - \sin x$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 - 3\sin x$ применим правило дифференцирования разности и правило вынесения константы за знак производной.

$f'(x) = (x^3 - 3\sin x)' = (x^3)' - (3\sin x)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная от степенной функции $x^3$ находится по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.
• Для нахождения производной от $3\sin x$ выносим константу $3$ за знак производной: $(3\sin x)' = 3 \cdot (\sin x)' = 3\cos x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3\cos x$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 3\cos x$.