Вопросы, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какое правило нахождения производных использовано для нахождения производной тангенса и котангенса?

2. Производные каких функций надо знать для вывода формул производных тангенса и котангенса?

3. При каких значениях переменной $x$ производные $tgx$ и $ctgx$ не существуют?

1. Для нахождения производных тангенса и котангенса используется правило нахождения производной частного (дроби). Это правило применяется потому, что функции тангенса и котангенса можно представить в виде отношения двух других функций: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Формула производной частного для функций $u(x)$ и $v(x)$ имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Применим ее для вывода производной тангенса:

$(\text{tg}\,x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{(\sin x)'\cos x - \sin x(\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Аналогично для котангенса:

$(\text{ctg}\,x)' = (\frac{\cos x}{\sin x})' = \frac{(\cos x)'\sin x - \cos x(\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: Правило нахождения производной частного (дроби).

2. Чтобы вывести формулы производных тангенса и котангенса с помощью правила производной частного, необходимо знать производные тех функций, из которых состоят тангенс и котангенс. Это функции синуса и косинуса.

Необходимо знать следующие табличные производные:

1. Производная синуса: $(\sin x)' = \cos x$.

2. Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Эти формулы подставляются в числитель формулы для производной частного.

Ответ: Производные функций синуса ($\sin x$) и косинуса ($\cos x$).

3. Производная функции не существует в тех точках, где сама функция не определена. Область определения производной функции совпадает с областью определения самой функции.

1. Функция $y = \text{tg}\,x$ и ее производная $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$ не существуют, когда знаменатель в их определении равен нулю. То есть, при $\cos x = 0$. Это происходит при значениях аргумента $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

2. Функция $y = \text{ctg}\,x$ и ее производная $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ не существуют, когда знаменатель в их определении равен нулю. То есть, при $\sin x = 0$. Это происходит при значениях аргумента $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Производная $\text{tg}\,x$ не существует при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Производная $\text{ctg}\,x$ не существует при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.