Номер 44.5, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.5. Решите неравенство $f'(x) > 0$:

1) $f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$;

2) $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}$;

3) $f(x) = x - \cos x$.

1) Дана функция $f(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$.

Сначала упростим выражение для функции, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$.

Таким образом, $f(x) = \cos(x)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Нам нужно решить неравенство $f'(x) > 0$:

$-\sin x > 0$.

Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin x < 0$.

Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях. Решением этого неравенства являются интервалы, где $x$ находится между $\pi$ и $2\pi$, с учетом периодичности синуса $2\pi$.

Общее решение: $\pi + 2\pi n < x < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = 2\sin^2\frac{x}{2} - 2\cos^2\frac{x}{2}$.

Упростим выражение для функции. Вынесем -2 за скобки:

$f(x) = -2(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2})$.

Снова используем формулу косинуса двойного угла $\cos(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$:

$f(x) = -2\cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-2\cos x)' = -2(-\sin x) = 2\sin x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$2\sin x > 0$.

$\sin x > 0$.

Синус положителен в I и II координатных четвертях. Решением этого неравенства являются интервалы, где $x$ находится между $0$ и $\pi$, с учетом периодичности синуса $2\pi$.

Общее решение: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана функция $f(x) = x - \cos x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \cos x)' = (x)' - (\cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.

Решим неравенство $f'(x) > 0$:

$1 + \sin x > 0$.

$\sin x > -1$.

Область значений функции синус: $E(\sin x) = [-1, 1]$. Это означает, что значение $\sin x$ всегда больше или равно -1. Неравенство $\sin x > -1$ является строгим, поэтому оно выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых $\sin x = -1$.

Уравнение $\sin x = -1$ имеет решения $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решением неравенства $f'(x) > 0$ являются все действительные числа, за исключением точек $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.