Номер 44.10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.10. Найдите скорость изменения функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

1) $f(x) = \sin x \cdot (x + 1)$;

2) $f(x) = \operatorname{ctg} x \cdot (x^2 - 1)$;

3) $f(x) = \sin x \cdot (\operatorname{ctg} x + 3).

Скорость изменения функции в точке — это значение производной функции в этой точке. Для решения задачи необходимо найти производную каждой функции $f'(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot (x + 1)$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u = \sin x$ и $v = x + 1$.

Производные этих функций: $u' = (\sin x)' = \cos x$ и $v' = (x + 1)' = 1$.

Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\sin x)' \cdot (x + 1) + \sin x \cdot (x + 1)' = \cos x \cdot (x + 1) + \sin x \cdot 1 = (x + 1)\cos x + \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2} + 1)\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = (\frac{\pi}{2} + 1) \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

2) Дана функция $f(x) = \operatorname{ctg}x \cdot (x^2 - 1)$.

Используем правило дифференцирования произведения, где $u = \operatorname{ctg}x$ и $v = x^2 - 1$.

Производные этих функций: $u' = (\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $v' = (x^2 - 1)' = 2x$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (\operatorname{ctg}x)' \cdot (x^2 - 1) + \operatorname{ctg}x \cdot (x^2 - 1)' = -\frac{1}{\sin^2 x} \cdot (x^2 - 1) + \operatorname{ctg}x \cdot 2x = -\frac{x^2 - 1}{\sin^2 x} + 2x \operatorname{ctg}x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{(\frac{\pi}{2})^2 - 1}{\sin^2(\frac{\pi}{2})} + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\frac{\pi^2}{4} - 1}{1^2} + \pi \cdot 0 = -(\frac{\pi^2}{4} - 1) = 1 - \frac{\pi^2}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\pi^2}{4}$.

3) Дана функция $f(x) = \sin x \cdot (\operatorname{ctg}x + 3)$.

Перед дифференцированием упростим выражение, используя тождество $\operatorname{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$ (при $\sin x \neq 0$, что выполняется в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$):

$f(x) = \sin x \cdot (\frac{\cos x}{\sin x} + 3) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + 3\sin x = \cos x + 3\sin x$.

Теперь найдем производную упрощенной функции:

$f'(x) = (\cos x + 3\sin x)' = (\cos x)' + (3\sin x)' = -\sin x + 3\cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) + 3\cos(\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -1 + 3 \cdot 0 = -1$.

Ответ: $-1$.