Номер 44.3, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.3. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2\cos x + 3\operatorname{tg}x;$ 2) $f(x) = \sin x + \operatorname{ctg}x;$

3) $f(x) = \cos x - 5\operatorname{tg}x + x^{-3};$ 4) $f(x) = 2\operatorname{tg}x + 3\operatorname{ctg}x + \frac{1}{x^3}.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = 2\cos x + 3\text{tg}x$, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (2\cos x + 3\text{tg}x)' = (2\cos x)' + (3\text{tg}x)' = 2(\cos x)' + 3(\text{tg}x)'$.

Теперь применим формулы производных для тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Подставляем значения производных в выражение:

$f'(x) = 2(-\sin x) + 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = -2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

2) Для функции $f(x) = \sin x + \text{ctg}x$ применим правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (\sin x + \text{ctg}x)' = (\sin x)' + (\text{ctg}x)'$.

Используем табличные производные: $(\sin x)' = \cos x$ и $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставляем и получаем:

$f'(x) = \cos x + \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: $f'(x) = \cos x - \frac{1}{\sin^2 x}$.

3) Найдём производную функции $f(x) = \cos x - 5\text{tg}x + x^{-3}$. Применяем правило дифференцирования суммы/разности:

$f'(x) = (\cos x - 5\text{tg}x + x^{-3})' = (\cos x)' - (5\text{tg}x)' + (x^{-3})'$.

Выносим константу и используем табличные производные $(\cos x)' = -\sin x$, $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Собираем всё вместе:

$f'(x) = -\sin x - 5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + (-3x^{-4}) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - 3x^{-4}$.

Можно также записать ответ с положительным показателем степени в знаменателе: $f'(x) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = -\sin x - \frac{5}{\cos^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\text{tg}x + 3\text{ctg}x + \frac{1}{x^3}$ сначала представим последнее слагаемое в виде степени: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$.

$f(x) = 2\text{tg}x + 3\text{ctg}x + x^{-3}$.

Применяем правило дифференцирования суммы:

$f'(x) = (2\text{tg}x)' + (3\text{ctg}x)' + (x^{-3})' = 2(\text{tg}x)' + 3(\text{ctg}x)' + (x^{-3})'$.

Используем известные производные: $(\text{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, $(\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(x^{-3})' = -3x^{-4}$.

Подставляем их в выражение для производной:

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + (-3x^{-4}) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - 3x^{-4}$.

Запишем ответ с положительным показателем степени в знаменателе: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{3}{\sin^2 x} - \frac{3}{x^4}$.