Задания, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите: $(\cos x)' = -\sin x.$

Докажите: $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Докажите: (cosx)' = -sinx.

Для доказательства воспользуемся определением производной функции $f(x)$ в точке $x$: $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

В нашем случае $f(x) = \cos x$. Подставим эту функцию в определение производной:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$

Применим тригонометрическую формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$. Пусть $\alpha = x + \Delta x$ и $\beta = x$. Тогда числитель дроби под знаком предела примет вид:

$\cos(x + \Delta x) - \cos x = -2 \sin\frac{x + \Delta x + x}{2} \sin\frac{x + \Delta x - x}{2} = -2 \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)$

Подставим полученное выражение обратно в предел:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2 \sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}$

Перегруппируем выражение, чтобы можно было применить первый замечательный предел $\left(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\right)$:

$(\cos x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\right) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}}$

Теперь вычислим оба предела по отдельности:

Первый предел: $\lim_{\Delta x \to 0} \left(-\sin\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right)\right) = -\sin(x + 0) = -\sin x$.

Второй предел: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\frac{\Delta x}{2}} = 1$, так как при $\Delta x \to 0$, аргумент $\frac{\Delta x}{2}$ также стремится к нулю.

Перемножив результаты, получаем искомое равенство:

$(\cos x)' = (-\sin x) \cdot 1 = -\sin x$.

Ответ: Доказано, что $(\cos x)' = -\sin x$.

Докажите: (ctgx)' = $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = \cos x$ и $v(x) = \sin x$. Найдем их производные:

$u'(x) = (\cos x)' = -\sin x$ (согласно предыдущему доказательству).

$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$ (известная табличная производная).

Подставим эти производные в формулу для производной частного:

$(\text{ctg } x)' = \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{(\sin x)^2} = \frac{(-\sin x) \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

Упростим выражение в числителе:

$(\text{ctg } x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательный результат:

$(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Ответ: Доказано, что $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.