Номер 44.6, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.6. Решите неравенство $f'(x) \leq 0$:

1) $f(x) = 2x - 4\sin x$;

2) $f(x) = \text{tg}x$;

3) $f(x) = \text{ctg}x$;

4) $f(x) = x - 2\cos x$.

1) Дана функция $f(x) = 2x - 4\sin x$.

Сначала найдем производную функции: $f'(x) = (2x - 4\sin x)' = 2 - 4\cos x$.

Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \le 0$:

$2 - 4\cos x \le 0$

$2 \le 4\cos x$

$\cos x \ge \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ являются $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos x \ge \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, которые на единичной окружности находятся в промежутке от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \tan x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$\frac{1}{\cos^2 x} \le 0$

В области определения $\cos x \ne 0$, поэтому знаменатель $\cos^2 x$ всегда строго положителен. Числитель дроби равен 1 (также положителен).

Следовательно, выражение $\frac{1}{\cos^2 x}$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, неравенство $\frac{1}{\cos^2 x} \le 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) Дана функция $f(x) = \cot x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Область определения функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ — все действительные числа, кроме $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $f'(x) \le 0$:

$-\frac{1}{\sin^2 x} \le 0$

В области определения $\sin x \ne 0$, поэтому знаменатель $\sin^2 x$ всегда строго положителен. Дробь $\frac{1}{\sin^2 x}$ также всегда строго положительна.

Следовательно, выражение $-\frac{1}{\sin^2 x}$ всегда строго меньше нуля.

Неравенство $-\frac{1}{\sin^2 x} \le 0$ (что эквивалентно $-\frac{1}{\sin^2 x} < 0$) выполняется для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = x - 2\cos x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x - 2\cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2\sin x$.

Теперь необходимо решить неравенство $f'(x) \le 0$:

$1 + 2\sin x \le 0$

$2\sin x \le -1$

$\sin x \le -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Корнями уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ являются $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin x \le -\frac{1}{2}$ выполняется для всех $x$, которые на единичной окружности находятся в промежутке от $-\frac{5\pi}{6}$ до $-\frac{\pi}{6}$.

С учетом периодичности, общее решение неравенства:

$[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.