Номер 44.11, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.11. Решите уравнение:

1) $x|x|+7x+12=0$;

2) $x^2-5|x+3|+4=0$;

3) $x^2-5(\sqrt{x-2})^2-5=0$;

4) $|x-2|x^2=10-5x$;

5) $\sqrt{x^2-2x}=3x+1$;

6) $2\sqrt{x^2-2x}=x^2-2x-3$;

7) $\sqrt{x^2-2x-3}=x^2-2x-15$;

8) $\sqrt{x^2+2x-3}=x^2+2x-15$.

1) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:$x \cdot x + 7x + 12 = 0$$x^2 + 7x + 12 = 0$По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.Оба корня не удовлетворяют условию $x \ge 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:$x \cdot (-x) + 7x + 12 = 0$$-x^2 + 7x + 12 = 0$$x^2 - 7x - 12 = 0$Найдем корни с помощью дискриминанта:$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 + 48 = 97$$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$Получаем два корня: $x_1 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и $x_2 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.Проверим условие $x < 0$.$x_1 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2} > 0$, так как $\sqrt{97} > 0$. Этот корень не подходит.Так как $\sqrt{81} < \sqrt{97} < \sqrt{100}$, то $9 < \sqrt{97} < 10$.$x_2 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} > 7$, то числитель $7 - \sqrt{97} < 0$, следовательно, $x_2 < 0$. Этот корень подходит.Единственным решением уравнения является $x = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.

Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.

2) Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Тогда $|x+3| = x+3$.$x^2 - 5(x + 3) + 4 = 0$$x^2 - 5x - 15 + 4 = 0$$x^2 - 5x - 11 = 0$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 25 + 44 = 69$$x = \frac{5 \pm \sqrt{69}}{2}$Проверим условие $x \ge -3$.$x_1 = \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$. Так как $\sqrt{69} > \sqrt{9}=3$, то $5 + \sqrt{69} > 8$, и $x_1 > 4$. Условие $x \ge -3$ выполнено.$x_2 = \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$. Так как $8 < \sqrt{69} < 9$, то $5 - 9 < 5 - \sqrt{69} < 5 - 8$, то есть $-4 < 5 - \sqrt{69} < -3$. Значит $-2 < x_2 < -1.5$. Условие $x_2 \ge -3$ выполнено.Оба корня подходят.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$. Тогда $|x+3| = -(x+3)$.$x^2 - 5(-(x + 3)) + 4 = 0$$x^2 + 5x + 15 + 4 = 0$$x^2 + 5x + 19 = 0$$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 25 - 76 = -51 < 0$.В этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{69}}{2}; \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$.

3) Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Тогда $x = t^2$, и условие ОДЗ означает $t \ge 0$.Уравнение принимает вид:$(t^2)^2 - 5(t - 2)^2 - 5 = 0$$t^4 - 5(t^2 - 4t + 4) - 5 = 0$$t^4 - 5t^2 + 20t - 20 - 5 = 0$$t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$Это полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-25): $\pm1, \pm5, \pm25$. Проверка показывает, что ни один из них не является корнем.Рассмотрим функцию $f(t) = t^4 - 5t^2 + 20t - 25$ на промежутке $t \ge 0$.Найдем ее производную: $f'(t) = 4t^3 - 10t + 20$.Исследуем знак производной при $t \ge 0$. $f'(0) = 20$. $f'(t)$ положительна для всех $t \ge 0$, значит, функция $f(t)$ строго возрастает на этом промежутке.Так как $f(1) = 1-5+20-25 = -9$ и $f(2) = 16-20+40-25 = 11$, а функция непрерывна и возрастает, то существует единственный корень $t_0$ на интервале $(1, 2)$.Этот корень иррационален и не может быть выражен простым образом через радикалы.Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = t_0^2$, где $t_0$ — единственный положительный корень уравнения $t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$.Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы уравнение имело вид $x^2 - 5(x-2) - 5 = 0$, оно бы имело более простое решение.

Ответ: Уравнение имеет единственный корень, который является квадратом единственного положительного корня уравнения $t^4 - 5t^2 + 20t - 25 = 0$.

4) Перепишем уравнение: $|x - 2|x^2 = 5(2 - x)$, что равносильно $|x - 2|x^2 = -5(x - 2)$.Рассмотрим три случая.

Случай 1: $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.Подставим в исходное уравнение: $|2 - 2| \cdot 2^2 = 10 - 5 \cdot 2 \Rightarrow 0 \cdot 4 = 10 - 10 \Rightarrow 0 = 0$.Равенство верное, значит $x = 2$ является корнем.

Случай 2: $x - 2 > 0$, то есть $x > 2$. Тогда $|x - 2| = x - 2$.$(x - 2)x^2 = -5(x - 2)$Поскольку $x-2 \neq 0$, разделим обе части на $(x - 2)$:$x^2 = -5$Это уравнение не имеет действительных корней.

Случай 3: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$. Тогда $|x - 2| = -(x - 2)$.$-(x - 2)x^2 = -5(x - 2)$Разделим обе части на $-(x - 2)$:$x^2 = 5$$x = \sqrt{5}$ или $x = -\sqrt{5}$.Проверим условие $x < 2$.$x = \sqrt{5} \approx 2.236$, что не меньше 2. Этот корень не подходит.$x = -\sqrt{5} \approx -2.236$, что меньше 2. Этот корень подходит.

Объединяя результаты, получаем два корня.

Ответ: $-\sqrt{5}; 2$.

5) Уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе $\begin{cases} A = B^2 \\ B \ge 0 \end{cases}$.$\sqrt{x^2 - 2x} = 3x + 1$Система имеет вид:$\begin{cases} x^2 - 2x = (3x + 1)^2 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$Решим неравенство: $3x \ge -1 \Rightarrow x \ge -1/3$.Решим уравнение:$x^2 - 2x = 9x^2 + 6x + 1$$8x^2 + 8x + 1 = 0$$D = 8^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 64 - 32 = 32$$x = \frac{-8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{-2 \pm \sqrt{2}}{4}$Получаем два корня: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{4}$.Проверим, удовлетворяют ли они условию $x \ge -1/3$.$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2 + 1.414}{4} = \frac{-0.586}{4} \approx -0.1465$. Так как $-0.1465 > -1/3 \approx -0.333$, этот корень подходит.$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{2}}{4} \approx \frac{-2 - 1.414}{4} = \frac{-3.414}{4} \approx -0.8535$. Так как $-0.8535 < -1/3$, этот корень не подходит.

Ответ: $\frac{-2 + \sqrt{2}}{4}$.

6) В уравнении $2\sqrt{x^2 - 2x} = x^2 - 2x - 3$ сделаем замену.Пусть $t = \sqrt{x^2 - 2x}$. По определению корня, $t \ge 0$.Тогда $x^2 - 2x = t^2$. Уравнение принимает вид:$2t = t^2 - 3$$t^2 - 2t - 3 = 0$По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.Так как $t \ge 0$, нам подходит только $t = 3$.Выполняем обратную замену:$\sqrt{x^2 - 2x} = 3$Возводим обе части в квадрат:$x^2 - 2x = 9$$x^2 - 2x - 9 = 0$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$$x = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 1 \pm \sqrt{10}$.Оба найденных значения являются корнями, так как при возведении в квадрат обеих частей уравнения $\sqrt{A}=C$ (где C - положительное число) посторонние корни не появляются. Необходимо только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, что здесь выполняется: $x^2-2x = 9 \ge 0$.

Ответ: $1 - \sqrt{10}; 1 + \sqrt{10}$.

7) В уравнении $\sqrt{x^2 - 2x - 3} = x^2 - 2x - 15$ сделаем замену.Пусть $y = x^2 - 2x$. Уравнение примет вид:$\sqrt{y - 3} = y - 15$Это уравнение равносильно системе $\begin{cases} y - 3 = (y - 15)^2 \\ y - 15 \ge 0 \end{cases}$.Из неравенства получаем $y \ge 15$.Решим уравнение:$y - 3 = y^2 - 30y + 225$$y^2 - 31y + 228 = 0$$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 228 = 961 - 912 = 49 = 7^2$$y = \frac{31 \pm 7}{2}$$y_1 = \frac{31+7}{2} = 19$, $y_2 = \frac{31-7}{2} = 12$.Условию $y \ge 15$ удовлетворяет только $y_1 = 19$.Выполняем обратную замену:$x^2 - 2x = 19$$x^2 - 2x - 19 = 0$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$$x = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 1 \pm 2\sqrt{5}$.Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Подставив $x^2-2x=19$, получим $19-3 \ge 0$, что верно. Значит, оба корня подходят.

Ответ: $1 - 2\sqrt{5}; 1 + 2\sqrt{5}$.

8) В уравнении $\sqrt{x^2 + 2x - 3} = x^2 + 2x - 15$ сделаем замену.Пусть $y = x^2 + 2x$. Уравнение примет вид:$\sqrt{y - 3} = y - 15$Это то же уравнение, что и в задаче 7. Его единственное решение, удовлетворяющее необходимым условиям, это $y = 19$.Выполняем обратную замену:$x^2 + 2x = 19$$x^2 + 2x - 19 = 0$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-19) = 4 + 76 = 80$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{5}$.Проверим ОДЗ исходного уравнения: $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Подставив $x^2+2x=19$, получим $19-3 \ge 0$, что верно. Значит, оба корня подходят.

Ответ: $-1 - 2\sqrt{5}; -1 + 2\sqrt{5}$.