Номер 44.7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.7. Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$, если:

1) $f'(x) = \cos x + 1;$

2) $f'(x) = 2\cos x + \sin x;$

3) $f'(x) = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x};$

4) $f'(x) = -2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x};$

Задача состоит в нахождении первообразной функции $y = f(x)$ по ее известной производной $y = f'(x)$. Нахождение первообразной — это операция, обратная дифференцированию, то есть интегрирование. Общий вид первообразной для функции $f'(x)$ есть $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

1) Дана производная $f'(x) = \cos x + 1$. Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо найти ее первообразную, то есть вычислить неопределенный интеграл: $f(x) = \int (\cos x + 1) dx$. Используя свойство интеграла суммы, получаем: $f(x) = \int \cos x \,dx + \int 1 \,dx$. Согласно таблице основных интегралов, первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а первообразная для $1$ есть $x$. Таким образом, получаем: $f(x) = \sin x + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \sin x + x + C$.

2) Дана производная $f'(x) = 2\cos x + \sin x$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (2\cos x + \sin x) dx$. Используя свойства интегралов (интеграл суммы и вынесение константы за знак интеграла): $f(x) = 2\int \cos x \,dx + \int \sin x \,dx$. Из таблицы интегралов известно, что первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а для $\sin x$ есть $-\cos x$. Подставляя, получаем: $f(x) = 2\sin x - \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = 2\sin x - \cos x + C$.

3) Дана производная $f'(x) = \cos x + \frac{1}{\cos^2 x}$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (\cos x + \frac{1}{\cos^2 x}) dx$. Используя свойство интеграла суммы: $f(x) = \int \cos x \,dx + \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx$. Из таблицы интегралов: первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$, а первообразная для $\frac{1}{\cos^2 x}$ есть $\tan x$. Следовательно: $f(x) = \sin x + \tan x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \sin x + \tan x + C$.

4) Дана производная $f'(x) = -2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x}$. Находим первообразную для $f'(x)$: $f(x) = \int (-2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x}) dx$. Используя свойства интегралов: $f(x) = -2\int \sin x \,dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} \,dx$. Из таблицы интегралов: первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$, а первообразная для $\frac{1}{\sin^2 x}$ есть $-\cot x$. Подставляя, получаем: $f(x) = -2(-\cos x) + (-\cot x) + C = 2\cos x - \cot x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = 2\cos x - \cot x + C$.