Номер 44.13, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.13. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & x \le 0 \\ x^2 - 1, & 0 < x \le 3 \\ 8, & x > 3 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x \le 1 \\ x^2 + 1, & 1 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x + 1, & 0 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

1) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & x \le 0 \\ x^2 - 1, & 0 < x \le 3 \\ 8, & x > 3 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Она состоит из трех частей, каждая из которых является элементарной функцией (линейной, квадратичной, постоянной) и непрерывна на своем интервале определения. Поэтому разрывы могут быть только в точках, где меняется аналитическое выражение функции, то есть в точках $x=0$ и $x=3$.

Исследуем непрерывность в точке $x=0$:

Найдем односторонние пределы:

Левый предел: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (x+3) = 0+3 = 3$.

Правый предел: $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (x^2-1) = 0^2-1 = -1$.

Так как левый и правый пределы не равны ($3 \ne -1$), функция терпит разрыв в точке $x=0$.

Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = 0+3=3$.

Поскольку односторонние пределы существуют, но не равны, в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|3 - (-1)| = 4$.

Исследуем непрерывность в точке $x=3$:

Найдем односторонние пределы:

Левый предел: $\lim_{x\to3^-} f(x) = \lim_{x\to3^-} (x^2-1) = 3^2-1 = 9-1=8$.

Правый предел: $\lim_{x\to3^+} f(x) = \lim_{x\to3^+} (8) = 8$.

Значение функции в точке $x=3$: $f(3) = 3^2-1 = 8$.

Так как $\lim_{x\to3^-} f(x) = \lim_{x\to3^+} f(x) = f(3) = 8$, функция непрерывна в точке $x=3$.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график прямой $y=x+3$. Это луч, проходящий через точки $(-3, 0)$ и $(0, 3)$. Точка $(0, 3)$ включена.

2. На промежутке $(0, 3]$ строим график параболы $y=x^2-1$. Ветви вверх, вершина в $(0, -1)$. Точка $(0, -1)$ выколота. Точка $(3, 8)$ включена.

3. На промежутке $(3, \infty)$ строим график прямой $y=8$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(3, 8)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв первого рода (скачок).

2) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & x \le 1 \\ x^2 + 1, & 1 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Возможные точки разрыва: $x=1$ и $x=2$.

Исследуем непрерывность в точке $x=1$:

Левый предел: $\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^-} (3-x) = 3-1 = 2$.

Правый предел: $\lim_{x\to1^+} f(x) = \lim_{x\to1^+} (x^2+1) = 1^2+1 = 2$.

Значение функции: $f(1) = 3-1 = 2$.

Так как $\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^+} f(x) = f(1) = 2$, функция непрерывна в точке $x=1$.

Исследуем непрерывность в точке $x=2$:

Левый предел: $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} (x^2+1) = 2^2+1 = 5$.

Правый предел: $\lim_{x\to2^+} f(x) = \lim_{x\to2^+} (5) = 5$.

Значение функции: $f(2) = 2^2+1 = 5$.

Так как $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^+} f(x) = f(2) = 5$, функция непрерывна в точке $x=2$.

Поскольку функция непрерывна в точках $x=1$ и $x=2$ и на составляющих интервалах, она непрерывна на всей числовой оси.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 1]$ строим график прямой $y=3-x$. Это луч, проходящий через точки $(0, 3)$ и $(1, 2)$. Точка $(1, 2)$ включена.

2. На промежутке $(1, 2]$ строим график параболы $y=x^2+1$. Ветви вверх, вершина в $(0, 1)$. График проходит через точки $(1, 2)$ и $(2, 5)$. Точка $(1, 2)$ выколота, но совпадает с конечной точкой предыдущего участка. Точка $(2, 5)$ включена.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график прямой $y=5$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(2, 5)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$.

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 2x+1, & 0 < x \le 2 \\ 5, & x > 2 \end{cases}$

Функция определена на всей числовой оси. Возможные точки разрыва: $x=0$ и $x=2$.

Исследуем непрерывность в точке $x=0$:

Левый предел: $\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (x^2) = 0^2 = 0$.

Правый предел: $\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (2x+1) = 2(0)+1 = 1$.

Так как левый и правый пределы не равны ($0 \ne 1$), функция терпит разрыв в точке $x=0$.

Значение функции: $f(0) = 0^2 = 0$.

В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|1 - 0| = 1$.

Исследуем непрерывность в точке $x=2$:

Левый предел: $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} (2x+1) = 2(2)+1 = 5$.

Правый предел: $\lim_{x\to2^+} f(x) = \lim_{x\to2^+} (5) = 5$.

Значение функции: $f(2) = 2(2)+1 = 5$.

Так как $\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^+} f(x) = f(2) = 5$, функция непрерывна в точке $x=2$.

Построение графика:

1. На промежутке $(-\infty, 0]$ строим график параболы $y=x^2$. Это левая ветвь параболы с вершиной в $(0, 0)$. Точка $(0, 0)$ включена.

2. На промежутке $(0, 2]$ строим график прямой $y=2x+1$. Это отрезок с концами в точках $(0, 1)$ и $(2, 5)$. Точка $(0, 1)$ выколота, точка $(2, 5)$ включена.

3. На промежутке $(2, \infty)$ строим график прямой $y=5$. Это луч, параллельный оси Ох, начинающийся из точки $(2, 5)$.

Ответ: Функция непрерывна на всей числовой оси, кроме точки $x=0$, где она имеет разрыв первого рода (скачок).