Номер 44.9, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.9. Вычислите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \text{ctg}x \cdot \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \text{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \sin x, x_0 = \frac{3\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} \cdot \text{ctg}x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

1) Дана функция $f(x) = \text{ctg}x \cdot \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Для начала упростим данную функцию. Используем определение котангенса $\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x$.

При условии, что $\sin x \neq 0$ (а для $x_0 = \frac{\pi}{6}$ это условие выполняется), мы можем сократить $\sin x$.

Таким образом, функция принимает вид $f(x) = \cos x$.

Теперь найдем производную этой функции: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'(\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \text{tg}x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Упростим функцию. Известно, что $\text{ctg}x \cdot \text{tg}x = 1$ для всех $x$ из области определения (где $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$). Точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$ принадлежит области определения.

Следовательно, функция упрощается до $f(x) = x^2 - 1$.

Находим производную: $f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2 - \text{ctg}x \cdot \sin x$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Как и в первом пункте, упростим выражение $\text{ctg}x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$ (условие $\sin x \neq 0$ для $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ выполняется).

Функция принимает вид $f(x) = x^2 - \cos x$.

Найдем ее производную: $f'(x) = (x^2 - \cos x)' = 2x - (-\sin x) = 2x + \sin x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + \sin(\frac{3\pi}{4})$.

Так как $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x} \cdot \text{ctg}x$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \frac{2}{x}$ и $v(x) = \text{ctg}x$.

Находим их производные: $u'(x) = (\frac{2}{x})' = -\frac{2}{x^2}$ и $v'(x) = (\text{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = (-\frac{2}{x^2}) \cdot \text{ctg}x + \frac{2}{x} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2\text{ctg}x}{x^2} - \frac{2}{x\sin^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем значения тригонометрических функций для $x_0$: $\text{ctg}(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{(\frac{2\pi}{3})^2} - \frac{2}{\frac{2\pi}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4\pi^2}{9}} - \frac{2}{\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3}{4}}$.

Упрощаем выражение:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{9}{4\pi^2} - \frac{2}{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2\pi^2\sqrt{3}} - \frac{4}{\pi}$.

Избавляемся от иррациональности в знаменателе первого слагаемого: $\frac{9}{2\pi^2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2\pi^2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2}$.

Таким образом, окончательный результат:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2} - \frac{4}{\pi}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi^2} - \frac{4}{\pi}$.