Номер 44.4, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.4. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 3\text{ctg}x + 2\text{sin}x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = x - 2\text{cos}x + 3\text{tg}x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

3) $f(x) = 2x^2 - 2\text{tg}x + \text{sin}x, x_0 = \frac{3\pi}{4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x} - 2\text{ctg}x + 4\text{sin}x, x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

1)Для функции $f(x) = 3\operatorname{ctg}x + 2\sin x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{6}$ сначала найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = (3\operatorname{ctg}x + 2\sin x)' = 3 \cdot (\operatorname{ctg}x)' + 2 \cdot (\sin x)' = 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + 2\cos x = -\frac{3}{\sin^2 x} + 2\cos x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3}{\sin^2 \left(\frac{\pi}{6}\right)} + 2\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим эти значения в выражение для производной:

$f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{3}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{\frac{1}{4}} + \sqrt{3} = -3 \cdot 4 + \sqrt{3} = -12 + \sqrt{3}$.

Ответ: $-12 + \sqrt{3}$.

2)Для функции $f(x) = x - 2\cos x + 3\operatorname{tg}x$ и точки $x_0 = \frac{\pi}{4}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(x)'=1$, $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$f'(x) = (x - 2\cos x + 3\operatorname{tg}x)' = (x)' - 2(\cos x)' + 3(\operatorname{tg}x)' = 1 - 2(-\sin x) + 3\left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) = 1 + 2\sin x + \frac{3}{\cos^2 x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим эти значения:

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} + \frac{3}{\frac{2}{4}} = 1 + \sqrt{2} + \frac{3}{\frac{1}{2}} = 1 + \sqrt{2} + 6 = 7 + \sqrt{2}$.

Ответ: $7 + \sqrt{2}$.

3)Для функции $f(x) = 2x^2 - 2\operatorname{tg}x + \sin x$ и точки $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(x^2)'=2x$, $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = (2x^2 - 2\operatorname{tg}x + \sin x)' = 2(x^2)' - 2(\operatorname{tg}x)' + (\sin x)' = 2 \cdot 2x - 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + \cos x = 4x - \frac{2}{\cos^2 x} + \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{2}{\cos^2\left(\frac{3\pi}{4}\right)} + \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$.

Мы знаем, что $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение:

$f'\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 3\pi - \frac{2}{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3\pi - \frac{2}{\frac{2}{4}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\pi - \frac{2}{\frac{1}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\pi - 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $3\pi - 4 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4)Для функции $f(x) = \frac{2}{x} - 2\operatorname{ctg}x + 4\sin x$ и точки $x_0 = \frac{2\pi}{3}$ найдем ее производную.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$, $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ и $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$f'(x) = \left(\frac{2}{x} - 2\operatorname{ctg}x + 4\sin x\right)' = 2\left(\frac{1}{x}\right)' - 2(\operatorname{ctg}x)' + 4(\sin x)' = 2\left(-\frac{1}{x^2}\right) - 2\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) + 4\cos x = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{\sin^2 x} + 4\cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{2}{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2} + \frac{2}{\sin^2\left(\frac{2\pi}{3}\right)} + 4\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим эти значения:

$f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{2}{\frac{4\pi^2}{9}} + \frac{2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} + 4\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{18}{4\pi^2} + \frac{2}{\frac{3}{4}} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} + \frac{8}{3} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} + \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3} - \frac{9}{2\pi^2}$.

Ответ: $\frac{2}{3} - \frac{9}{2\pi^2}$.