Номер 43.27, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.27. Найдите область определения функции:

1) $y(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}$

2) $y(x) = \sqrt{\frac{1}{x+5}} + \sqrt{49 - x^2} + \sqrt{\frac{x}{x-6}}$

1)Область определения функции $y(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Это приводит к системе условий:$\begin{cases} \frac{x^2 - 7x + 12}{x^2 - 2x - 3} \ge 0 \\ x^2 - 2x - 3 \ne 0\end{cases}$Решим данное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя.

Корни числителя: $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение 12. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.

Корни знаменателя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Следовательно, корни $x_3 = 3$ и $x_4 = -1$.

Знаменатель не должен равняться нулю, поэтому $x \ne 3$ и $x \ne -1$.

Перепишем неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)(x+1)} \ge 0$

Так как $x \ne 3$, мы можем сократить дробь на $(x-3)$, получив неравенство, равносильное исходному (с учетом ограничений):$\frac{x-4}{x+1} \ge 0$

Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $x=4$ и $x=-1$. Точка $x=4$ включается в решение (неравенство нестрогое), а точка $x=-1$ исключается (знаменатель).

Определим знаки выражения на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 4]$ и $[4, \infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$ (например, $x=-2$): $\frac{-2-4}{-2+1} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1, 4]$ (например, $x=0$): $\frac{0-4}{0+1} = -4 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in [4, \infty)$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{5+1} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [4, \infty)$.

2)Область определения функции $y(x) = \sqrt{\frac{1}{x+5}} + \sqrt{49 - x^2} + \sqrt{\frac{x}{x-6}}$ является пересечением областей определения каждого из трех слагаемых. Это означает, что все три подкоренных выражения должны быть одновременно неотрицательными, а знаменатели - отличными от нуля. Составим систему неравенств:$\begin{cases} \frac{1}{x+5} \ge 0 \\ 49 - x^2 \ge 0 \\ \frac{x}{x-6} \ge 0\end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $\frac{1}{x+5} \ge 0$. Так как числитель $1$ всегда положителен, то для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго положителен: $x+5 > 0$, откуда $x > -5$.

2) $49 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 49$, что означает $|x| \le 7$, или $-7 \le x \le 7$.

3) $\frac{x}{x-6} \ge 0$. Решим методом интервалов. Корни числителя $x=0$ (включается) и знаменателя $x=6$ (исключается). На числовой прямой получаем интервалы $(-\infty, 0]$, $[0, 6)$, $(6, \infty)$. Выражение положительно на краях и отрицательно в середине. Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (6, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех полученных множеств решений:$\begin{cases} x \in (-5, \infty) \\ x \in [-7, 7] \\ x \in (-\infty, 0] \cup (6, \infty)\end{cases}$

Пересечение первого и второго условий дает: $x \in (-5, 7]$.

Теперь пересечем этот результат с третьим условием: $(-5, 7] \cap \big( (-\infty, 0] \cup (6, \infty) \big)$.

Это пересечение удобно найти как объединение двух частей:

а) $(-5, 7] \cap (-\infty, 0] = (-5, 0]$

б) $(-5, 7] \cap (6, \infty) = (6, 7]$

Итоговая область определения является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $x \in (-5, 0] \cup (6, 7]$.