Номер 43.23, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.23. Запишите уравнение касательной к графику функции $y = -x^2 - 7x + 8$, проходящей через точку:

1) M(1; 1);

2) M(0; 9).

Дана функция $y = f(x) = -x^2 - 7x + 8$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 - 7x + 8)' = -2x - 7$.

Теперь запишем уравнение касательной в общем виде, подставив выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$f(x_0) = -x_0^2 - 7x_0 + 8$

$f'(x_0) = -2x_0 - 7$

$y = (-x_0^2 - 7x_0 + 8) + (-2x_0 - 7)(x - x_0)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = -x_0^2 - 7x_0 + 8 - 2x_0x + 2x_0^2 - 7x + 7x_0$

$y = (-2x_0 - 7)x + (2x_0^2 - x_0^2) + (-7x_0 + 7x_0) + 8$

$y = (-2x_0 - 7)x + x_0^2 + 8$.

Это общее уравнение для любой касательной к графику данной функции, где $x_0$ – абсцисса точки касания.

1) M(1; 1)

По условию, касательная проходит через точку M(1; 1). Это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=1$ и $y=1$ в общее уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$1 = (-2x_0 - 7) \cdot 1 + x_0^2 + 8$

$1 = -2x_0 - 7 + x_0^2 + 8$

$1 = x_0^2 - 2x_0 + 1$

$x_0^2 - 2x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 2) = 0$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 2$. Следовательно, через точку M(1; 1) можно провести две касательные к графику функции.

Найдем уравнение для каждого случая.

Если $x_0 = 0$:

$y = (-2 \cdot 0 - 7)x + 0^2 + 8 = -7x + 8$.

Если $x_0 = 2$:

$y = (-2 \cdot 2 - 7)x + 2^2 + 8 = (-4 - 7)x + 4 + 8 = -11x + 12$.

Ответ: $y = -7x + 8$ и $y = -11x + 12$.

2) M(0; 9)

Касательная проходит через точку M(0; 9). Подставим ее координаты $x=0$ и $y=9$ в общее уравнение касательной для нахождения $x_0$:

$9 = (-2x_0 - 7) \cdot 0 + x_0^2 + 8$

$9 = 0 + x_0^2 + 8$

$x_0^2 = 9 - 8$

$x_0^2 = 1$

Мы получили два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Следовательно, через точку M(0; 9) также проходят две касательные.

Найдем уравнение для каждого случая.

Если $x_0 = 1$:

$y = (-2 \cdot 1 - 7)x + 1^2 + 8 = (-2 - 7)x + 1 + 8 = -9x + 9$.

Если $x_0 = -1$:

$y = (-2 \cdot (-1) - 7)x + (-1)^2 + 8 = (2 - 7)x + 1 + 8 = -5x + 9$.

Ответ: $y = -9x + 9$ и $y = -5x + 9$.