Номер 43.19, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*43.19. На параболе, заданной формулой $y = x^2 - 4$, взяты две точки с абсциссами $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Для решения задачи нам нужно найти точку на параболе $y = x^2 - 4$, в которой касательная будет параллельна прямой, проходящей через две другие точки этой же параболы с абсциссами $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Сначала определим координаты этих двух точек на параболе.

Для точки с абсциссой $x_1 = 1$, найдем соответствующую ординату $y_1$:$y_1 = x_1^2 - 4 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.Таким образом, первая точка имеет координаты $A(1, -3)$.

Для точки с абсциссой $x_2 = 3$, найдем соответствующую ординату $y_2$:$y_2 = x_2^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.Таким образом, вторая точка имеет координаты $B(3, 5)$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k_{сек}$ прямой (секущей), проходящей через точки A и B. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.Подставим координаты точек A и B:$k_{сек} = \frac{5 - (-3)}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Условие параллельности касательной и проведенной прямой означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Найдем производную функции $y = f(x) = x^2 - 4$:$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$ равен $k_{кас} = 2x_0$.

Приравняем угловые коэффициенты касательной и секущей, чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки:$k_{кас} = k_{сек}$$2x_0 = 4$$x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу искомой точки. Теперь найдем ее ординату $y_0$, подставив значение $x_0 = 2$ в уравнение параболы:$y_0 = x_0^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Итак, искомая точка на параболе, в которой касательная параллельна заданной прямой, имеет координаты $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.