Номер 43.14, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.14. Составьте уравнения касательных к графику функции $y = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$, параллельных прямой $y = 2x - 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательные должны быть параллельны прямой $y = 2x - 1$. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 1$ равен $2$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Следовательно, нам нужно найти такие значения $x_0$, для которых выполняется равенство $f'(x_0) = 2$.

Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2x - 1)' = 4x^3 - 4x + 2$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 2$:

$4x^3 - 4x + 2 = 2$

$4x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 1) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня, которые являются абсциссами точек касания:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем ординаты точек касания, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $y = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$:

1. Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 0^4 - 2(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка касания $A(0, -1)$.

2. Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 1^4 - 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$. Точка касания $B(1, 0)$.

3. Для $x_3 = -1$:

$y_3 = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 2 - 1 = -4$. Точка касания $C(-1, -4)$.

Составим уравнения касательных для каждой точки, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$ с угловым коэффициентом $k=2$:

1. Для точки $A(0, -1)$:

$y = -1 + 2(x - 0) \implies y = 2x - 1$.

2. Для точки $B(1, 0)$:

$y = 0 + 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$.

3. Для точки $C(-1, -4)$:

$y = -4 + 2(x - (-1)) \implies y = -4 + 2(x + 1) \implies y = -4 + 2x + 2 \implies y = 2x - 2$.

Таким образом, мы получили два разных уравнения касательных.

Ответ: $y = 2x - 1$ и $y = 2x - 2$.