Номер 43.10, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.10. Найдите координаты точки графика функции $y = x^2$, в которых касательная к графику параллельна заданной прямой:

1) $y = 2x - 1;$

2) $y = 0,75x - 2;$

3) $y = -0,5x - 6;$

4) $y = -x - 16.$

Для нахождения координат точки графика функции $y = x^2$, в которой касательная параллельна заданной прямой, воспользуемся геометрическим смыслом производной. Условие параллельности двух прямых — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$. Угловой коэффициент $k$ для заданной прямой вида $y = kx + b$ — это коэффициент при $x$.

Сначала найдем производную функции $y = x^2$:

$y' = (x^2)' = 2x$.

Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $(x_0, y_0)$ равен $2x_0$. Приравняем его к угловому коэффициенту заданной прямой, чтобы найти $x_0$, а затем найдем $y_0 = x_0^2$.

1) Дана прямая $y = 2x - 1$.

Угловой коэффициент этой прямой $k=2$.

Приравниваем угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту прямой:

$2x_0 = 2$

Отсюда находим абсциссу точки касания:

$x_0 = 1$

Теперь находим ординату точки, подставляя $x_0$ в уравнение функции:

$y_0 = x_0^2 = 1^2 = 1$

Координаты искомой точки — $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

2) Дана прямая $y = 0,75x - 2$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = 0,75$. Представим его в виде обыкновенной дроби: $k = \frac{3}{4}$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = \frac{3}{4}$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{8}$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$

Координаты искомой точки — $(\frac{3}{8}; \frac{9}{64})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}; \frac{9}{64})$.

3) Дана прямая $y = -0,5x - 6$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = -0,5$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = -0,5$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = \frac{-0,5}{2} = -0,25$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (-0,25)^2 = 0,0625$

Координаты искомой точки — $(-0,25; 0,0625)$.

Ответ: $(-0,25; 0,0625)$.

4) Дана прямая $y = -x - 16$.

Угловой коэффициент этой прямой $k = -1$.

Приравниваем угловые коэффициенты:

$2x_0 = -1$

Находим абсциссу точки касания:

$x_0 = -\frac{1}{2} = -0,5$

Находим ординату точки:

$y_0 = x_0^2 = (-0,5)^2 = 0,25$

Координаты искомой точки — $(-0,5; 0,25)$.

Ответ: $(-0,5; 0,25)$.