Номер 43.5, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.5. Запишите координаты точек, в которых касательная к графику функции (рис. 43.4):

1) параллельна оси $Ox$;

2) не существует;

3) составляет с положительным направлением оси $Ox$ угол в $45^{\circ}$.

Рис 43.4

1) параллельна оси Ox;

Касательная к графику функции параллельна оси Ox в точках локальных экстремумов (минимумов и максимумов), так как в этих точках ее угловой коэффициент, равный значению производной, равен нулю. На представленном графике это точки, в которых касательная горизонтальна. Такими точками являются две "впадины" (локальные минимумы).

Их координаты, согласно графику, следующие:

Первая точка: $(-3, -2)$.

Вторая точка: $(3, -2)$.

Ответ: $(-3, -2)$, $(3, -2)$.

2) не существует;

Касательная к графику функции не существует в точках, где функция не является дифференцируемой. На графике это проявляется в виде "изломов" или "острых пиков", где невозможно однозначно провести касательную.

На данном графике есть одна такая точка — это острый пик в центре.

Координаты этой точки: $(0, 2)$.

Ответ: $(0, 2)$.

3) составляет с положительным направлением оси Ox угол в 45°.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке $x_0$ равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

По условию, угол $\alpha = 45^\circ$. Следовательно, угловой коэффициент касательной должен быть равен:

$k = \tan(45^\circ) = 1$.

Нам нужно найти точки на графике, в которых производная функции равна 1. Это точки, где функция возрастает.

Рассмотрим правую параболическую ветвь, проходящую через точки $(3, -2)$ и $(5, 0)$. По теореме Лагранжа о среднем значении, на интервале $(3, 5)$ найдется точка $c$, в которой производная равна среднему изменению функции на этом отрезке: $f'(c) = \frac{f(5) - f(3)}{5 - 3} = \frac{0 - (-2)}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1$. Для параболы такая точка является серединой отрезка по оси абсцисс: $x = \frac{3+5}{2} = 4$. Чтобы найти ординату, можно предположить, что уравнение этой части параболы $y=a(x-3)^2-2$. Подставив точку $(5,0)$, найдем $a$: $0=a(5-3)^2-2 \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=0.5$. Тогда при $x=4$, $y = 0.5(4-3)^2 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5$.

Аналогично, для левой параболической ветви, проходящей через точки $(-3, -2)$ и $(-1, 0)$, на интервале $(-3, -1)$ найдется точка, где производная равна $f'(c) = \frac{f(-1) - f(-3)}{-1 - (-3)} = \frac{0 - (-2)}{-1 + 3} = \frac{2}{2} = 1$. Абсцисса этой точки: $x = \frac{-3 + (-1)}{2} = -2$. В силу симметрии графика, ордината этой точки также будет $y = -1.5$.

Таким образом, есть две точки, удовлетворяющие условию.

Ответ: $(-2, -1.5)$, $(4, -1.5)$.