Номер 43.1, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.1. Запишите уравнение касательной к функции $y = f(x)$ при $x = x_0$:

1) $y = 2x^2 - 5,5$ при $x_0 = -0,5$;

2) $y = 0,2x^2 - 4$ при $x_0 = 2$;

3) $y = -3x^2 - x$ при $x_0 = -2$;

4) $y = x^2 - \frac{1}{x}$, при $x_0 = 3.

1) Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 2x^2 - 5,5$ и точка $x_0 = -0,5$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:

$f(x_0) = f(-0,5) = 2(-0,5)^2 - 5,5 = 2 \cdot 0,25 - 5,5 = 0,5 - 5,5 = -5$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^2 - 5,5)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-0,5) = 4 \cdot (-0,5) = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0)$, $f'(x_0)$ и $x_0$ в уравнение касательной:

$y = -5 + (-2)(x - (-0,5))$

$y = -5 - 2(x + 0,5)$

$y = -5 - 2x - 1$

$y = -2x - 6$.

Ответ: $y = -2x - 6$.

2) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = 0,2x^2 - 4$ и точка $x_0 = -2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = 0,2(-2)^2 - 4 = 0,2 \cdot 4 - 4 = 0,8 - 4 = -3,2$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (0,2x^2 - 4)' = 0,2 \cdot 2x - 0 = 0,4x$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = 0,4 \cdot (-2) = -0,8$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = -3,2 + (-0,8)(x - (-2))$

$y = -3,2 - 0,8(x + 2)$

$y = -3,2 - 0,8x - 1,6$

$y = -0,8x - 4,8$.

Ответ: $y = -0,8x - 4,8$.

3) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = -3x^2 - x$ и точка $x_0 = -2$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = -3(-2)^2 - (-2) = -3 \cdot 4 + 2 = -12 + 2 = -10$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (-3x^2 - x)' = -3 \cdot 2x - 1 = -6x - 1$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = -6(-2) - 1 = 12 - 1 = 11$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = -10 + 11(x - (-2))$

$y = -10 + 11(x + 2)$

$y = -10 + 11x + 22$

$y = 11x + 12$.

Ответ: $y = 11x + 12$.

4) Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^2 - \frac{1}{x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(3) = 3^2 - \frac{1}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$.

2. Производная функции (представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$):

$f'(x) = (x^2 - x^{-1})' = 2x - (-1)x^{-2} = 2x + x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2}$.

3. Значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(3) = 2 \cdot 3 + \frac{1}{3^2} = 6 + \frac{1}{9} = \frac{54}{9} + \frac{1}{9} = \frac{55}{9}$.

4. Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}(x - 3)$

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}x - \frac{55 \cdot 3}{9}$

$y = \frac{26}{3} + \frac{55}{9}x - \frac{55}{3}$

$y = \frac{55}{9}x + \frac{26-55}{3}$

$y = \frac{55}{9}x - \frac{29}{3}$.

Ответ: $y = \frac{55}{9}x - \frac{29}{3}$.