Номер 43.4, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.4. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$

в точках его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = 1 - x^2$;

2) $f(x) = x^2 - 3$;

3) $f(x) = 2 + 4x - x^2$;

4) $f(x) = 3x - x^2 - 2$.

Для того чтобы написать уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке его пересечения с осью ординат, необходимо найти эту точку и угловой коэффициент касательной в ней. Уравнение касательной в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Точка пересечения с осью ординат всегда имеет абсциссу $x_0 = 0$.

1) $f(x) = 1 - x^2$

Находим ординату точки касания (значение функции при $x_0=0$):

$y_0 = f(0) = 1 - 0^2 = 1$.

Точка касания: $(0; 1)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$.

Находим угловой коэффициент касательной (значение производной в точке $x_0=0$):

$k = f'(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

Подставляем найденные значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = 1 + 0 \cdot (x - 0) \implies y = 1$.

Ответ: $y = 1$.

2) $f(x) = x^2 - 3$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 0^2 - 3 = -3$.

Точка касания: $(0; -3)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = -3 + 0 \cdot (x - 0) \implies y = -3$.

Ответ: $y = -3$.

3) $f(x) = 2 + 4x - x^2$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 2 + 4 \cdot 0 - 0^2 = 2$.

Точка касания: $(0; 2)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (2 + 4x - x^2)' = 4 - 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 4 - 2 \cdot 0 = 4$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = 2 + 4(x - 0) \implies y = 4x + 2$.

Ответ: $y = 4x + 2$.

4) $f(x) = 3x - x^2 - 2$

Находим ординату точки касания при $x_0=0$:

$y_0 = f(0) = 3 \cdot 0 - 0^2 - 2 = -2$.

Точка касания: $(0; -2)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (3x - x^2 - 2)' = 3 - 2x$.

Находим угловой коэффициент касательной в точке $x_0=0$:

$k = f'(0) = 3 - 2 \cdot 0 = 3$.

Подставляем значения в уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) \implies y = -2 + 3(x - 0) \implies y = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.