Номер 42.15, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.15. Точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 0.25t^2 + 2t - 3$ (длина пути $s$ измеряется в метрах, время $x$ — в секундах). Найдите среднюю скорость движения точки в промежутке от $t = 4$ с до $t = 8$ с и мгновенную скорость при $t = 4$ с и $t = 8$ с.

Задача состоит из двух частей: нахождение средней скорости на временном интервале и нахождение мгновенной скорости в конкретные моменты времени.

Найдем среднюю скорость движения точки в промежутке от t = 4 с до t = 8 с

Закон движения точки задан формулой $s(t) = 0,25t^2 + 2t - 3$, где $s$ измеряется в метрах, а $t$ — в секундах.

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется как отношение изменения пути $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

В нашем случае $t_1 = 4$ с и $t_2 = 8$ с.

Сначала найдем положение точки в эти моменты времени, подставив значения $t$ в заданную формулу:

При $t_1 = 4$ с:

$s(4) = 0,25 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4 - 3 = 0,25 \cdot 16 + 8 - 3 = 4 + 8 - 3 = 9$ м.

При $t_2 = 8$ с:

$s(8) = 0,25 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8 - 3 = 0,25 \cdot 64 + 16 - 3 = 16 + 16 - 3 = 29$ м.

Теперь можем вычислить среднюю скорость на промежутке от 4 с до 8 с:

$v_{ср} = \frac{s(8) - s(4)}{8 - 4} = \frac{29 - 9}{4} = \frac{20}{4} = 5$ м/с.

Ответ: средняя скорость движения точки в промежутке от t = 4 с до t = 8 с равна 5 м/с.

Найдем мгновенную скорость при t = 4 с и t = 8 с

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. С физической точки зрения, это скорость точки в каждый конкретный момент времени.

$v(t) = s'(t)$

Найдем производную функции $s(t) = 0,25t^2 + 2t - 3$:

$v(t) = s'(t) = (0,25t^2 + 2t - 3)' = 0,25 \cdot (t^2)' + (2t)' - (3)' = 0,25 \cdot 2t + 2 - 0 = 0,5t + 2$.

Итак, формула для мгновенной скорости: $v(t) = 0,5t + 2$.

Теперь вычислим мгновенную скорость в заданные моменты времени.

При $t = 4$ с:

$v(4) = 0,5 \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$ м/с.

При $t = 8$ с:

$v(8) = 0,5 \cdot 8 + 2 = 4 + 2 = 6$ м/с.

Ответ: мгновенная скорость при $t=4$ с равна 4 м/с, а при $t=8$ с равна 6 м/с.