Номер 42.11, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.11. Дан график движения материальной точки (рис. 42.4 ). Что происходит со скоростью движения точки в указанные промежутки времени (табл. 26)? (Вопрос относится не к модулю скорости, а к скорости как величине, имеющей знак).

Рис. 42.3

Рис. 42.4

Таблица 26

Интервалы времени: $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$, $6 < t < 8$, $8 < t < 10$

Категории изменения скорости:

Скорость равна нулю в течение всего промежутка времени

Скорость увеличивается

Скорость постоянна и равна нулю

Скорость уменьшается

Для анализа поведения скорости материальной точки по графику ее координаты от времени $y(t)$ необходимо исследовать наклон (тангенс угла наклона касательной) этого графика. Скорость $v(t)$ является производной от координаты по времени: $v(t) = y'(t)$.

• Если график идет вверх (функция $y(t)$ возрастает), скорость положительна ($v > 0$).
• Если график идет вниз (функция $y(t)$ убывает), скорость отрицательна ($v < 0$).
• Если график является вогнутым вверх (изгибается вверх, $y''(t) > 0$), то его наклон, а следовательно и скорость, увеличивается.
• Если график является вогнутым вниз (изгибается вниз, $y''(t) < 0$), то его наклон, а следовательно и скорость, уменьшается.

На всем рассматриваемом промежутке от $t=0$ до $t=10$ график $y(t)$ возрастает, следовательно, скорость точки положительна. Теперь проанализируем изменение скорости на каждом интервале.

Скорость равна нулю в течение всего промежутка времени

Скорость материальной точки равна нулю, когда ее положение со временем не меняется, то есть когда график зависимости координаты от времени $y(t)$ является горизонтальной линией. На данном графике (рис. 42.4) нет ни одного промежутка времени, где бы график был горизонтальным. Следовательно, ни в одном из указанных интервалов скорость не была равна нулю в течение всего промежутка. Ответ: таких промежутков нет.

Скорость увеличивается

Скорость точки увеличивается, когда наклон касательной к графику $y(t)$ растет. Это происходит на участках, где кривая графика является вогнутой вверх (ее изгиб направлен вверх). Анализируя график 42.4, мы видим, что кривая вогнута вверх на промежутке примерно от $t=0$ до $t=8$. Это означает, что в интервалах $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$ и $6 < t < 8$ скорость материальной точки увеличивалась. Ответ: $0 < t < 2$, $2 < t < 4$, $4 < t < 6$, $6 < t < 8$.

Скорость постоянна и равна нулю

Это условие, как и в первом пункте, требует, чтобы график был горизонтальной линией. Таких участков на графике нет. Ответ: таких промежутков нет.

Скорость уменьшается

Скорость точки уменьшается, когда наклон касательной к графику $y(t)$ убывает. Это соответствует участкам, где кривая графика является вогнутой вниз (ее изгиб направлен вниз). На графике 42.4 видно, что примерно после $t=8$ (точка перегиба) кривая становится вогнутой вниз. Таким образом, в промежутке времени $8 < t < 10$ наклон касательной уменьшается, что означает уменьшение скорости. Ответ: $8 < t < 10$.