Номер 42.8, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.8. Вычислите производную функции $f(x) = \frac{25x^2 - 5}{16x^2 - 4}$ при $x = 2.$

Дайте геометрическое и механическое истолкование полученного результата.

Для вычисления производной функции $f(x) = \frac{25x^2 - 5}{16x^2 - 4}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой производной дроби):

$(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$

В нашем случае, пусть $u(x) = 25x^2 - 5$ и $v(x) = 16x^2 - 4$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (25x^2 - 5)' = 25 \cdot 2x - 0 = 50x$

$v'(x) = (16x^2 - 4)' = 16 \cdot 2x - 0 = 32x$

Теперь подставим найденные выражения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(50x)(16x^2 - 4) - (25x^2 - 5)(32x)}{(16x^2 - 4)^2}$

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$50x(16x^2 - 4) - (25x^2 - 5)(32x) = (800x^3 - 200x) - (800x^3 - 160x) = 800x^3 - 200x - 800x^3 + 160x = -40x$

Таким образом, производная функции имеет вид:

$f'(x) = \frac{-40x}{(16x^2 - 4)^2}$

Вычислим значение производной при $x = 2$:

$f'(2) = \frac{-40 \cdot 2}{(16 \cdot 2^2 - 4)^2} = \frac{-80}{(16 \cdot 4 - 4)^2} = \frac{-80}{(64 - 4)^2} = \frac{-80}{60^2} = \frac{-80}{3600}$

Сократим полученную дробь:

$f'(2) = -\frac{80}{3600} = -\frac{8}{360} = -\frac{1}{45}$

Ответ: $-\frac{1}{45}$.

Дайте геометрическое и механическое истолкование полученного результата.

Геометрическое истолкование: значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Следовательно, $f'(2) = -\frac{1}{45}$ – это угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Так как значение производной отрицательно, функция в этой точке является убывающей, а касательная образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Механическое истолкование: если функция $s(t) = f(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки, где $s$ – это путь (координата), а $t$ – время, то производная $s'(t) = f'(t)$ представляет собой мгновенную скорость движения этой точки в момент времени $t$. В нашем случае, $f'(2) = -\frac{1}{45}$ – это мгновенная скорость точки в момент времени $t=2$. Отрицательное значение скорости означает, что в данный момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению оси.

Ответ: Геометрически, число $-\frac{1}{45}$ является угловым коэффициентом касательной к графику функции в точке $x=2$. Механически, если $f(x)$ — это закон движения, то $-\frac{1}{45}$ — это мгновенная скорость тела в момент времени $x=2$.