Номер 42.7, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.7. Докажите, что функция не дифференцируема в указанных точках:

1) $y = 3x - |x - 2|$ при $x_0 = 2;$

2) $y = |x^3 - 8x^2|$ при $x_1 = 1, x_2 = 2;$

3) $y = \sqrt{x^2}$ при $x_0 = 0;$

4) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - x & \text{при } x > 1, \end{cases}$ при $x_0 = 1.$

1) Для того чтобы доказать, что функция $y = 3x - |x - 2|$ не является дифференцируемой в точке $x_0 = 2$, найдем односторонние производные в этой точке.

Сначала раскроем модуль:

$y(x) = \begin{cases} 3x - (-(x-2)), & \text{если } x < 2 \\ 3x - (x-2), & \text{если } x \ge 2 \end{cases} = \begin{cases} 3x + x - 2, & \text{если } x < 2 \\ 3x - x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases} = \begin{cases} 4x - 2, & \text{если } x < 2 \\ 2x + 2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Функция непрерывна в точке $x_0=2$, так как $\lim_{x \to 2^-} (4x-2) = 6$, $\lim_{x \to 2^+} (2x+2) = 6$ и $y(2) = 2(2)+2 = 6$.

Найдем левую производную в точке $x_0=2$:

$y'_{-}(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{y(x) - y(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{(4x-2) - 6}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{4x-8}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{4(x-2)}{x-2} = 4$.

Найдем правую производную в точке $x_0=2$:

$y'_{+}(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{y(x) - y(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{(2x+2) - 6}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} \frac{2(x-2)}{x-2} = 2$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=2$ не равны ($y'_{-}(2) = 4 \neq 2 = y'_{+}(2)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна 4, а правая равна 2. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 2$.

2) Утверждение в задаче, по-видимому, содержит ошибку. Функция $y = |x^3 - 8x^2|$ является дифференцируемой в точках $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Продемонстрируем это.

Функция вида $|f(x)|$ дифференцируема во всех точках, где функция $f(x)$ дифференцируема и не равна нулю.

В нашем случае $f(x) = x^3 - 8x^2$. Эта функция является многочленом и дифференцируема на всей числовой оси.

Рассмотрим точку $x_1 = 1$:

$f(1) = 1^3 - 8(1^2) = 1 - 8 = -7$.

Поскольку $f(1) \neq 0$, функция $y=|f(x)|$ дифференцируема в точке $x_1 = 1$. В окрестности этой точки $f(x) < 0$, поэтому $y(x) = -(x^3 - 8x^2) = 8x^2 - x^3$.

Ее производная: $y'(x) = (8x^2 - x^3)' = 16x - 3x^2$.

В точке $x_1=1$ производная равна $y'(1) = 16(1) - 3(1^2) = 13$.

Рассмотрим точку $x_2 = 2$:

$f(2) = 2^3 - 8(2^2) = 8 - 32 = -24$.

Поскольку $f(2) \neq 0$, функция $y=|f(x)|$ дифференцируема в точке $x_2 = 2$. В окрестности этой точки $f(x) < 0$, поэтому $y(x) = 8x^2 - x^3$.

Ее производная: $y'(x) = 16x - 3x^2$.

В точке $x_2=2$ производная равна $y'(2) = 16(2) - 3(2^2) = 32 - 12 = 20$.

Таким образом, в указанных точках производные существуют и конечны.

Ответ: Вопреки условию, функция дифференцируема в точках $x_1=1$ и $x_2=2$, так как выражение под модулем в этих точках не равно нулю, а сама функция под модулем является дифференцируемой. Недифференцируемость для данной функции наблюдается в точке $x=8$.

3) Функция $y = \sqrt{x^2}$ тождественно равна $y = |x|$. Докажем, что она недифференцируема в точке $x_0=0$.

Представим функцию в кусочно-заданном виде:

$y(x) = |x| = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Функция непрерывна в точке $x_0=0$, так как $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$, $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ и $y(0) = 0$.

Найдем левую производную в точке $x_0=0$:

$y'_{-}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{y(0+\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$.

Найдем правую производную в точке $x_0=0$:

$y'_{+}(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{y(0+\Delta x) - y(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=0$ не равны ($y'_{-}(0) = -1 \neq 1 = y'_{+}(0)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна -1, а правая равна 1. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

4) Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ 2-x, & x > 1 \end{cases}$. Докажем, что она недифференцируема в точке $x_0 = 1$.

Проверим непрерывность в точке $x_0=1$.

Значение функции: $y(1) = 1^2 = 1$.

Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$.

Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} (2-x) = 2-1=1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, она непрерывна в точке $x_0=1$.

Найдем левую производную (для $y=x^2$):

$y'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^-} \frac{y(x) - y(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} (x+1) = 2$.

Найдем правую производную (для $y=2-x$):

$y'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^+} \frac{y(x) - y(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{(2-x) - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1-x}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{-(x-1)}{x-1} = -1$.

Поскольку левая и правая производные в точке $x_0=1$ не равны ($y'_{-}(1) = 2 \neq -1 = y'_{+}(1)$), функция не является дифференцируемой в этой точке.

Ответ: Левая производная равна 2, а правая равна -1. Так как они не равны, функция не дифференцируема в точке $x_0 = 1$.