Номер 42.2, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.2. 1) Точка движется по прямой по закону $s = 5t^2 - 4t + 4$, где $s$ — длина пути, измеряемая в метрах, $t$ — время в секундах. Найдите мгновенную скорость при $t = 2$ с и среднюю скорость точки за время от $t = 2$с до $t_1 = 2 + \Delta t$, считая $\Delta t = 0,5$.

2) Закон движения точки по прямой задан формулой $s = t^3 - 3t^2 + 3t + 5$ ($s$ измеряется в метрах, $t$ — в секундах). В какие моменты времени скорость точки равна нулю?

1) Закон движения точки задан формулой $s(t) = 5t^2 - 4t + 4$, где $s$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах.

Нахождение мгновенной скорости при $t = 2$ с:

Мгновенная скорость $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (5t^2 - 4t + 4)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 5 \cdot (t^2)' - 4 \cdot (t)' + (4)' = 5 \cdot 2t - 4 \cdot 1 + 0 = 10t - 4$.

Теперь подставим значение времени $t = 2$ с в формулу для мгновенной скорости:

$v(2) = 10 \cdot 2 - 4 = 20 - 4 = 16$ м/с.

Нахождение средней скорости за время от $t = 2$ с до $t_1 = 2 + \Delta t$, где $\Delta t = 0,5$ с:

Средняя скорость $v_{ср}$ на промежутке времени от $t$ до $t_1$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_1) - s(t)}{t_1 - t}$

Начальный момент времени $t = 2$ с.

Конечный момент времени $t_1 = 2 + \Delta t = 2 + 0,5 = 2,5$ с.

Изменение времени $\Delta t = t_1 - t = 2,5 - 2 = 0,5$ с.

Найдем положения точки в эти моменты времени:

$s(2) = 5(2)^2 - 4(2) + 4 = 5 \cdot 4 - 8 + 4 = 20 - 8 + 4 = 16$ м.

$s(2,5) = 5(2,5)^2 - 4(2,5) + 4 = 5 \cdot 6,25 - 10 + 4 = 31,25 - 10 + 4 = 25,25$ м.

Изменение пути $\Delta s = s(2,5) - s(2) = 25,25 - 16 = 9,25$ м.

Теперь вычислим среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{9,25}{0,5} = 18,5$ м/с.

Ответ: мгновенная скорость при $t = 2$ с равна 16 м/с; средняя скорость за время от $t=2$ с до $t=2,5$ с равна 18,5 м/с.

2) Закон движения точки задан формулой $s(t) = t^3 - 3t^2 + 3t + 5$.

Чтобы найти моменты времени, когда скорость точки равна нулю, необходимо сначала найти функцию скорости $v(t)$, которая является производной функции пути $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 3t^2 + 3t + 5)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 3t^2 - 3 \cdot 2t + 3 \cdot 1 + 0 = 3t^2 - 6t + 3$.

Теперь приравняем функцию скорости к нулю, чтобы найти искомые моменты времени:

$v(t) = 0$

$3t^2 - 6t + 3 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - 1)^2 = 0$

Решая это уравнение, получаем:

$t - 1 = 0$

$t = 1$ с.

Таким образом, скорость точки равна нулю в момент времени $t = 1$ с.

Ответ: скорость точки равна нулю при $t = 1$ с.