Номер 41.16, страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.16. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{x - 1} = 0;$

2) $\frac{y - x^2 + 2}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{y - \sqrt{x + 2}}{x - 2} = 0.$

1) Исходное уравнение $\frac{y - x^2}{x - 1} = 0$ равносильно системе, в которой числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x - 1 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.

Из второго условия системы получаем $x \neq 1$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является парабола $y = x^2$, из которой удалена точка, абсцисса которой равна 1. Найдем ординату этой точки, подставив $x = 1$ в уравнение параболы:

$y(1) = 1^2 = 1$.

Таким образом, точка с координатами $(1; 1)$ является "выколотой" точкой на графике.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1; 1)$.

2) Исходное уравнение $\frac{y - x^2 + 2}{x^2 - 4} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 + 2 = 0, \\ x^2 - 4 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2 - 2$. Это уравнение параболы, полученной сдвигом параболы $y = x^2$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина этой параболы находится в точке $(0; -2)$.

Из второго условия системы $x^2 - 4 \neq 0$ следует, что $(x-2)(x+2) \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является парабола $y = x^2 - 2$ с двумя "выколотыми" точками. Найдем ординаты этих точек:

При $x = 2$, $y = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

При $x = -2$, $y = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$.

Таким образом, точки с координатами $(2; 2)$ и $(-2; 2)$ не принадлежат графику.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2 - 2$ с выколотыми точками $(2; 2)$ и $(-2; 2)$.

3) Исходное уравнение $\frac{y - \sqrt{x} + 2}{x - 2} = 0$ равносильно системе, учитывая область определения квадратного корня ($x \ge 0$):

$\begin{cases} y - \sqrt{x} + 2 = 0, \\ x - 2 \neq 0, \\ x \ge 0. \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $y = \sqrt{x} - 2$. Это график функции квадратного корня, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. График начинается в точке $(0; -2)$ и идет вправо вверх.

Второе условие дает ограничение $x \neq 2$.

Третье условие $x \ge 0$ является областью определения функции $y = \sqrt{x} - 2$.

Следовательно, графиком исходного уравнения является график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с "выколотой" точкой, абсцисса которой равна 2. Найдем ординату этой точки:

$y(2) = \sqrt{2} - 2$.

Таким образом, точка с координатами $(2; \sqrt{2} - 2)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком уравнения является график функции $y = \sqrt{x} - 2$ с выколотой точкой $(2; \sqrt{2} - 2)$.