Номер 41.9, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите производные функций (41.9—41.11):

41.9. 1) $f(x) = 3x^{-4} + x\sqrt{x} - 2\sqrt{x};$

2) $f(x) = x^{-5} + x^2\sqrt{x} - 4;$

3) $f(x) = x^{-10} + \sqrt{x} - \frac{2}{x}.$

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = 3x^{-4} + x\sqrt{x} - 2\sqrt{x}$, сначала преобразуем ее, представив все слагаемые в виде степеней переменной $x$.

$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$.

$\sqrt{x} = x^{1/2}$.

Таким образом, функция принимает вид: $f(x) = 3x^{-4} + x^{3/2} - 2x^{1/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы функций и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (3x^{-4})' + (x^{3/2})' - (2x^{1/2})' = 3 \cdot (-4)x^{-4-1} + \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$.

Выполним вычисления:

$f'(x) = -12x^{-5} + \frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2}$.

Для удобства можно переписать результат, используя дроби и корни:

$f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = -12x^{-5} + \frac{3}{2}x^{1/2} - x^{-1/2}$ или $f'(x) = -\frac{12}{x^5} + \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

2) Дана функция $f(x) = x^{-5} + x^2\sqrt{x} - 4$.

Преобразуем слагаемое $x^2\sqrt{x}$ в степенной вид:

$x^2\sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} = x^{2+1/2} = x^{5/2}$.

Функция примет вид: $f(x) = x^{-5} + x^{5/2} - 4$.

Находим производную как сумму производных слагаемых. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

$f'(x) = (x^{-5})' + (x^{5/2})' - (4)'$.

Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = -5x^{-5-1} + \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} - 0$.

$f'(x) = -5x^{-6} + \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Перепишем результат в виде выражения с дробями и корнями:

$f'(x) = -\frac{5}{x^6} + \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = -5x^{-6} + \frac{5}{2}x^{3/2}$ или $f'(x) = -\frac{5}{x^6} + \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.

3) Дана функция $f(x) = x^{-10} + \sqrt{x} - \frac{2}{x}$.

Представим все слагаемые в виде степеней $x$:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$.

$\frac{2}{x} = 2x^{-1}$.

Функция имеет вид: $f(x) = x^{-10} + x^{1/2} - 2x^{-1}$.

Дифференцируем функцию по слагаемым, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^{-10})' + (x^{1/2})' - (2x^{-1})'$.

$f'(x) = -10x^{-10-1} + \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 2 \cdot (-1)x^{-1-1}$.

$f'(x) = -10x^{-11} + \frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{-2}$.

Запишем ответ с использованием дробей и корней:

$f'(x) = -\frac{10}{x^{11}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -10x^{-11} + \frac{1}{2}x^{-1/2} + 2x^{-2}$ или $f'(x) = -\frac{10}{x^{11}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x^2}$.