Номер 41.10, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.10. 1) $f(x) = (1 - x^2)\sqrt{x}$;

2) $f(x) = (x^2 - 2x)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = x^2 \cdot (\sqrt{x} - 1)$.

1) Дана функция $f(x) = (1 - x^2)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной этой функции, сначала упростим выражение, раскрыв скобки и представив корень как степень. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = 1 \cdot \sqrt{x} - x^2 \cdot \sqrt{x} = x^{1/2} - x^2 \cdot x^{1/2} = x^{1/2} - x^{2 + 1/2} = x^{1/2} - x^{5/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого.

$f'(x) = (x^{1/2} - x^{5/2})' = (x^{1/2})' - (x^{5/2})'$

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} - \frac{5}{2}x^{3/2}$.

Преобразуем полученное выражение обратно к виду с корнями и приведем к общему знаменателю, чтобы упростить.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{5x\sqrt{x}}{2} = \frac{1 - 5x\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 5x^2}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1 - 5x^2}{2\sqrt{x}}$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 2x)\sqrt{x}$.

Упростим функцию, раскрыв скобки. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} = x^2 \cdot x^{1/2} - 2x^1 \cdot x^{1/2} = x^{5/2} - 2x^{3/2}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции.

$f'(x) = (x^{5/2} - 2x^{3/2})' = (x^{5/2})' - (2x^{3/2})'$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} = \frac{5}{2}x^{3/2} - 3x^{1/2}$.

Упростим полученное выражение, вынеся общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки и приведя к общему знаменателю.

$f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = \sqrt{x} (\frac{5}{2}x - 3) = \frac{\sqrt{x}(5x - 6)}{2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{\sqrt{x}(5x - 6)}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = x^2(\sqrt{x} - 1)$.

Сначала упростим выражение функции, раскрыв скобки. Область определения функции $x \ge 0$.

$f(x) = x^2 \cdot \sqrt{x} - x^2 \cdot 1 = x^2 \cdot x^{1/2} - x^2 = x^{5/2} - x^2$.

Теперь найдем производную функции по правилу дифференцирования степенной функции.

$f'(x) = (x^{5/2} - x^2)' = (x^{5/2})' - (x^2)'$

$f'(x) = \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} - 2x^{2-1} = \frac{5}{2}x^{3/2} - 2x$.

Упростим выражение, вынеся общий множитель $x$ за скобки.

$f'(x) = \frac{5}{2}x\sqrt{x} - 2x = x(\frac{5}{2}\sqrt{x} - 2) = \frac{x(5\sqrt{x} - 4)}{2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x(5\sqrt{x} - 4)}{2}$.