Номер 41.5, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.5. Решите уравнение $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = \frac{5x^2 - 3x - 1}{x - 3}$;

2) $f(x) = \frac{2 - 5x^2}{x^2 + 3x}$;

3) $f(x) = \frac{5x}{x + 5} - x$;

4) $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x + 3} - \frac{2x}{x + 3}$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{5x^2 - 3x - 1}{x - 3}$.

Для решения уравнения $f'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 5x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x - 3$.

Тогда $u'(x) = 10x - 3$ и $v'(x) = 1$.

Подставляем в формулу производной:

$f'(x) = \frac{(10x - 3)(x - 3) - (5x^2 - 3x - 1) \cdot 1}{(x - 3)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{10x^2 - 30x - 3x + 9 - 5x^2 + 3x + 1}{(x - 3)^2} = \frac{5x^2 - 30x + 10}{(x - 3)^2}$

Теперь решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{5x^2 - 30x + 10}{(x - 3)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Область определения функции $x \neq 3$.

$5x^2 - 30x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 5:

$x^2 - 6x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 3 \pm \sqrt{7}$.

Полученные корни $x_1 = 3 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{7}$ не равны 3, следовательно, они являются решениями.

Ответ: $3 - \sqrt{7}; 3 + \sqrt{7}$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2 - 5x^2}{x^2 + 3x}$.

Найдем производную функции, используя правило производной частного. Область определения функции: $x^2+3x \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -3$.

Пусть $u(x) = 2 - 5x^2$ и $v(x) = x^2 + 3x$.

Тогда $u'(x) = -10x$ и $v'(x) = 2x + 3$.

$f'(x) = \frac{(-10x)(x^2 + 3x) - (2 - 5x^2)(2x + 3)}{(x^2 + 3x)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{-10x^3 - 30x^2 - (4x + 6 - 10x^3 - 15x^2)}{(x^2 + 3x)^2} = \frac{-10x^3 - 30x^2 - 4x - 6 + 10x^3 + 15x^2}{(x^2 + 3x)^2}$

$f'(x) = \frac{-15x^2 - 4x - 6}{(x^2 + 3x)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-15x^2 - 4x - 6}{(x^2 + 3x)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$-15x^2 - 4x - 6 = 0$

$15x^2 + 4x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 15 \cdot 6 = 16 - 360 = -344$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

3) Дана функция $f(x) = \frac{5x}{x+5} - x$.

Сначала упростим выражение для функции, приведя к общему знаменателю. Область определения: $x \neq -5$.

$f(x) = \frac{5x - x(x+5)}{x+5} = \frac{5x - x^2 - 5x}{x+5} = \frac{-x^2}{x+5}$

Теперь найдем производную функции $f(x) = \frac{-x^2}{x+5}$ по правилу производной частного.

Пусть $u(x) = -x^2$ и $v(x) = x+5$.

Тогда $u'(x) = -2x$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(-2x)(x+5) - (-x^2) \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{-2x^2 - 10x + x^2}{(x+5)^2} = \frac{-x^2 - 10x}{(x+5)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{-x^2 - 10x}{(x+5)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$-x^2 - 10x = 0$

$-x(x + 10) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$. Оба корня входят в область определения функции ($x \neq -5$).

Ответ: $-10; 0$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x+3} - \frac{2x}{x+3}$.

Упростим выражение для функции, так как знаменатели дробей одинаковы. Область определения: $x \neq -3$.

$f(x) = \frac{x^2 + 7x - 2x}{x+3} = \frac{x^2 + 5x}{x+3}$

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x+3}$ по правилу производной частного.

Пусть $u(x) = x^2 + 5x$ и $v(x) = x+3$.

Тогда $u'(x) = 2x+5$ и $v'(x) = 1$.

$f'(x) = \frac{(2x+5)(x+3) - (x^2 + 5x) \cdot 1}{(x+3)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 6x + 5x + 15 - x^2 - 5x}{(x+3)^2} = \frac{x^2 + 6x + 15}{(x+3)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{x^2 + 6x + 15}{(x+3)^2} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 + 6x + 15 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.