Задания, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что значение произведения константы и дифференцируемой функции $(Cu)'$ можно вычислить по формуле: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$, т.е. константу можно вынести за знак производной.

Для доказательства того, что значение произведения константы $C$ и дифференцируемой функции $f(x)$ можно вычислить по формуле $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$, необходимо воспользоваться определением производной.

Производная функции $g(x)$ по определению равна следующему пределу: $g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$

Пусть $g(x) = C \cdot f(x)$. Подставим эту функцию в определение производной: $(C \cdot f(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot f(x + \Delta x) - C \cdot f(x)}{\Delta x}$

В числителе дроби под знаком предела можно вынести общий множитель $C$ за скобки: $(C \cdot f(x))' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot (f(x + \Delta x) - f(x))}{\Delta x}$

Согласно одному из основных свойств пределов, постоянный множитель можно вынести за знак предела: $(C \cdot f(x))' = C \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Выражение, оставшееся под знаком предела, в точности соответствует определению производной функции $f(x)$. Следовательно: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f'(x)$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу: $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$

Это доказывает, что постоянный множитель (константу) можно выносить за знак производной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на определении производной. Для функции $g(x) = C \cdot f(x)$ её производная вычисляется как предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{C \cdot f(x + \Delta x) - C \cdot f(x)}{\Delta x}$. Вынося константу $C$ сначала из числителя, а затем за знак предела, получаем $C \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$, что по определению равно $C \cdot f'(x)$. Таким образом, доказано, что $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.