Номер 40.12, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.12. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{27 \cdot 125 \cdot 240}$;

2) $\sqrt{64 \cdot 12 \cdot 27}$;

3) $\sqrt{\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{27 \cdot 125 \cdot 240}$, разложим подкоренные числа на множители, выделяя полные квадраты:

$27 = 9 \cdot 3$

$125 = 25 \cdot 5$

$240 = 16 \cdot 15 = 16 \cdot 3 \cdot 5$

Подставим разложения в исходное выражение и сгруппируем множители:

$\sqrt{(9 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 3 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 16 \cdot (3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 5)} = \sqrt{9 \cdot 25 \cdot 16 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$

Используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{9} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} = 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 900$

Ответ: $900$

2) Найдем значение выражения $\sqrt{64 \cdot 12 \cdot 27}$. Разложим числа 12 и 27 на множители, чтобы выделить полные квадраты:

$12 = 4 \cdot 3$

$27 = 9 \cdot 3$

Подставим разложения в выражение:

$\sqrt{64 \cdot (4 \cdot 3) \cdot (9 \cdot 3)}$

Сгруппируем множители:

$\sqrt{64 \cdot 4 \cdot 9 \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{64 \cdot 4 \cdot 9^2}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{64} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{9^2} = 8 \cdot 2 \cdot 9 = 144$

Ответ: $144$

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49}}$, сначала упростим подкоренное выражение. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

$\frac{25 \cdot 27}{12 \cdot 49} = \frac{25 \cdot (3 \cdot 9)}{(4 \cdot 3) \cdot 49}$

Сократив на 3, получаем:

$\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 49}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{25 \cdot 9}{4 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 9}}{\sqrt{4 \cdot 49}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{49}} = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 7} = \frac{15}{14}$

Ответ: $\frac{15}{14}$