Номер 40.8, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.8. Используя определение производной функции в точке, найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1)

$y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{при } x > 1, \end{cases} \text{ и } x_0 = 1;$

2)

$y = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - 2x & \text{при } x > 1, \end{cases} \text{ и } x_0 = 1.$

1) Заданная функция $y = f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

Поскольку функция задана по-разному для $x \le 1$ и $x > 1$, для нахождения производной в точке $x_0 = 1$ необходимо вычислить односторонние пределы: левостороннюю и правостороннюю производные. Если они равны, то производная в этой точке существует и равна их общему значению.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$.

Найдем левостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и $x_0 + \Delta x < 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = x^2$.

$f'_{-}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 + \Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (2 + \Delta x) = 2$.

Теперь найдем правостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и $x_0 + \Delta x > 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 2x - 1$.

$f'_{+}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(2(1 + \Delta x) - 1) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2 + 2\Delta x - 1 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 2 = 2$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 1$ равны ($f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = 2$), то производная функции в этой точке существует и равна 2.

Ответ: 2.

2) Заданная функция $y = f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{при } x \le 1, \\ 2 - 2x & \text{при } x > 1, \end{cases}$ и точка $x_0 = 1$.

Как и в предыдущем пункте, используем определение производной через односторонние пределы.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0=1$:

$f(x_0) = f(1) = 1 - 1^2 = 0$.

Найдем левостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^-$, то есть $\Delta x < 0$ и $x_0 + \Delta x < 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 1 - x^2$.

$f'_{-}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(1 - (1 + \Delta x)^2) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{1 - (1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-2\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} (-2 - \Delta x) = -2$.

Теперь найдем правостороннюю производную (при $\Delta x \to 0^+$, то есть $\Delta x > 0$ и $x_0 + \Delta x > 1$). В этом случае используем формулу $f(x) = 2 - 2x$.

$f'_{+}(1) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{(2 - 2(1 + \Delta x)) - 0}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{2 - 2 - 2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{-2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} (-2) = -2$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 1$ равны ($f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = -2$), то производная функции в этой точке существует и равна -2.

Ответ: -2.