Номер 40.4, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.4. Точка движется по прямой по закону $s = t^3 + 2t^2 + 3$, где длина пути $s$ измеряется в сантиметрах, время $t$ — в секундах. Найдите среднюю скорость за промежуток времени от $t_1 = 1$ до $t_2 = 1 + \Delta t$, считая $\Delta t = 0,5; 0,2; 0,1$.

Средняя скорость $v_{ср}$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ вычисляется по формуле:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1}$

Закон движения точки задан уравнением $s(t) = t^3 + 2t^2 + 3$. Нам нужно найти среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 1$ с до $t_2 = 1 + \Delta t$ с.

Найдем сначала общее выражение для средней скорости на этом промежутке. Приращение времени равно $\Delta t = t_2 - t_1 = (1 + \Delta t) - 1 = \Delta t$.

Теперь найдем приращение пути $\Delta s$.

Значение пути в начальный момент времени $t_1 = 1$:

$s(t_1) = s(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$ см.

Значение пути в конечный момент времени $t_2 = 1 + \Delta t$:

$s(t_2) = s(1 + \Delta t) = (1 + \Delta t)^3 + 2(1 + \Delta t)^2 + 3$

Раскроем скобки в выражении для $s(1 + \Delta t)$:

$(1 + \Delta t)^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \Delta t + 3 \cdot 1 \cdot (\Delta t)^2 + (\Delta t)^3 = 1 + 3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3$

$2(1 + \Delta t)^2 = 2(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \Delta t + (\Delta t)^2) = 2(1 + 2\Delta t + (\Delta t)^2) = 2 + 4\Delta t + 2(\Delta t)^2$

Подставим раскрытые выражения обратно в формулу для $s(1 + \Delta t)$:

$s(1 + \Delta t) = (1 + 3\Delta t + 3(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + (2 + 4\Delta t + 2(\Delta t)^2) + 3$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$s(1 + \Delta t) = (\Delta t)^3 + (3(\Delta t)^2 + 2(\Delta t)^2) + (3\Delta t + 4\Delta t) + (1 + 2 + 3) = (\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t + 6$ см.

Теперь найдем приращение пути $\Delta s$:

$\Delta s = s(1 + \Delta t) - s(1) = ((\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t + 6) - 6 = (\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t$ см.

Формула для средней скорости принимает вид:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{(\Delta t)^3 + 5(\Delta t)^2 + 7\Delta t}{\Delta t} = (\Delta t)^2 + 5\Delta t + 7$ см/с.

Теперь, используя полученную формулу, вычислим среднюю скорость для каждого заданного значения $\Delta t$.

При $\Delta t = 0,5$ с:

$v_{ср} = (0,5)^2 + 5 \cdot 0,5 + 7 = 0,25 + 2,5 + 7 = 9,75$ см/с.

Ответ: 9,75 см/с.

При $\Delta t = 0,2$ с:

$v_{ср} = (0,2)^2 + 5 \cdot 0,2 + 7 = 0,04 + 1 + 7 = 8,04$ см/с.

Ответ: 8,04 см/с.

При $\Delta t = 0,1$ с:

$v_{ср} = (0,1)^2 + 5 \cdot 0,1 + 7 = 0,01 + 0,5 + 7 = 7,51$ см/с.

Ответ: 7,51 см/с.