Задания, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите $(x)' = 1.$

Для доказательства равенства $(x)' = 1$ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим их последовательно.

Доказательство по определению производной

Производная функции $f(x)$ по определению — это предел отношения приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента $\Delta x$ стремится к нулю.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

В нашем случае функция $f(x) = x$. Подставим её в определение. Сначала найдём приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x) - x = \Delta x$

Теперь подставим это в формулу для производной и вычислим предел:

$(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x}$

Поскольку $\Delta x$ стремится к нулю, но не равно ему, мы можем сократить дробь $\frac{\Delta x}{\Delta x}$ на $\Delta x$, получив 1.

$(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} 1$

Предел константы равен самой константе, следовательно:

$(x)' = 1$

Таким образом, мы доказали, что производная функции $f(x)=x$ равна 1.

Доказательство через правило дифференцирования степенной функции

Существует общая формула для нахождения производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Функцию $f(x) = x$ можно представить в виде $x^1$. В этом случае показатель степени $n=1$.

Применим формулу:

$(x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0$

Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($x^0 = 1$ при $x \neq 0$), а производная является константой, получаем:

$(x)' = 1 \cdot 1 = 1$

Этот способ также доказывает требуемое равенство.

Геометрическая интерпретация

С геометрической точки зрения, производная функции в точке — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Графиком функции $y=x$ является прямая линия, которая проходит через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси абсцисс. Касательная к прямой в любой её точке совпадает с самой этой прямой. Уравнение прямой в общем виде $y=kx+b$, где $k$ — угловой коэффициент. Для функции $y=x$ уравнение можно записать как $y=1 \cdot x + 0$. Отсюда видно, что угловой коэффициент $k=1$. Поскольку производная равна угловому коэффициенту касательной, то $(x)'=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Основной способ — через определение производной: $(x)' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$.