Вопросы, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что означает производная для функции $y = f(x)$?

2. Всякая ли функция дифференцируема?

1. Что означает производная для функции y = f(x)?

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ – это одно из фундаментальных понятий математического анализа, которое описывает скорость изменения функции в данной точке. Формально производная определяется как предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда последнее стремится к нулю:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Это определение имеет несколько важных интерпретаций:

Геометрический смысл:

Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если $k$ – угловой коэффициент касательной, а $\alpha$ – угол, который она образует с положительным направлением оси Ox, то:

$k = \tan \alpha = f'(x_0)$

Таким образом, производная показывает, насколько "круто" идет вверх или вниз график функции в данной точке. Положительная производная означает, что функция возрастает, отрицательная – что функция убывает, а нулевая производная может указывать на точку экстремума (максимум или минимум).

Физический (механический) смысл:

Если функция $s(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки (т.е. зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$), то её производная $s'(t)$ представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени $t$.

$v(t) = s'(t)$

В более общем смысле, производная функции $y = f(x)$ характеризует скорость протекания любого процесса, описываемого этой функцией. Например, это может быть скорость химической реакции, скорость изменения температуры, плотность тока и т.д.

Ответ: Производная функции в точке – это скорость изменения функции в этой точке. Геометрически это угловой коэффициент касательной к графику функции, а физически – мгновенная скорость процесса, описываемого функцией.

2. Всякая ли функция дифференцируема?

Нет, не всякая функция является дифференцируемой. Чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в некоторой точке $x_0$, необходимо, чтобы она была непрерывна в этой точке. Однако непрерывность является необходимым, но не достаточным условием. Существует несколько причин, по которым функция может не иметь производной в точке:

1. Разрыв функции. Если функция имеет разрыв в точке $x_0$, она не может быть в ней дифференцируема. В точке разрыва невозможно провести единственную касательную к графику.

2. Наличие "излома" или "угла". Функция может быть непрерывной, но иметь в точке "острый угол", где невозможно провести однозначную касательную. Классическим примером является функция модуль: $f(x) = |x|$. Эта функция непрерывна на всей числовой оси, но недифференцируема в точке $x=0$. В этой точке левосторонняя и правосторонняя производные не равны:

Предел слева: $\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = -1$

Предел справа: $\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1$

Поскольку пределы не совпадают ($-1 \neq 1$), производная в точке $x=0$ не существует.

3. Наличие вертикальной касательной. Если в некоторой точке касательная к графику функции становится вертикальной, то её угловой коэффициент (тангенс угла наклона) не определён (стремится к бесконечности). Следовательно, производная в этой точке не существует. Примером служит функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$. Касательной к её графику в этой точке является ось Oy.

Более того, существуют функции, которые непрерывны на всей числовой оси, но недифференцируемы ни в одной её точке. Таким примером является функция Вейерштрасса.

Ответ: Нет, не всякая функция дифференцируема. Функция недифференцируема в точках разрыва, в точках "излома" графика или в точках с вертикальной касательной.