Номер 39.2, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите асимптоты функции $y = f(x)$ (39.2-39.3):

39.2. 1) $f(x) = \frac{3x-2}{x-4}$; 2) $f(x) = \frac{x-4}{x^2-4}$; 3) $f(x) = \frac{x^2-5x}{x^2-4}$.

1) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3x - 2}{x - 4}$.

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты могут существовать в точках разрыва функции. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x - 4 = 0$, то есть при $x = 4$.

Найдем односторонние пределы в этой точке:

$\lim_{x \to 4^+} \frac{3x - 2}{x - 4} = \frac{3 \cdot 4 - 2}{+0} = \frac{10}{+0} = +\infty$

$\lim_{x \to 4^-} \frac{3x - 2}{x - 4} = \frac{3 \cdot 4 - 2}{-0} = \frac{10}{-0} = -\infty$

Поскольку пределы равны бесконечности, прямая $x = 4$ является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{x(x - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{x^2 - 4x} = 0$.

Поскольку $k=0$, наклонной асимптоты нет, но может быть горизонтальная. Найдем $b$:

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 2}{x - 4}$.

Так как степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x} = 3$.

Следовательно, прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x = 4$, горизонтальная асимптота $y = 3$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 4}$.

Вертикальные асимптоты:

Знаменатель обращается в ноль при $x^2 - 4 = 0$, то есть при $x = 2$ и $x = -2$.

Проверим точку $x=2$: числитель $2-4=-2 \neq 0$. Значит, $\lim_{x \to 2} |f(x)| = \infty$. Прямая $x = 2$ — вертикальная асимптота.

Проверим точку $x=-2$: числитель $-2-4=-6 \neq 0$. Значит, $\lim_{x \to -2} |f(x)| = \infty$. Прямая $x = -2$ — вертикальная асимптота.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x^3 - 4x} = 0$, так как степень знаменателя (3) больше степени числителя (1).

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 4}{x^2 - 4} = 0$, так как степень знаменателя (2) больше степени числителя (1).

Следовательно, прямая $y = 0$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальные асимптоты $x = 2$ и $x = -2$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 4}$.

Вертикальные асимптоты:

Знаменатель обращается в ноль при $x^2 - 4 = 0$, то есть при $x = 2$ и $x = -2$.

Проверим, обращается ли числитель в ноль в этих точках:

При $x = 2$: $2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6 \neq 0$.

При $x = -2$: $(-2)^2 - 5 \cdot (-2) = 4 + 10 = 14 \neq 0$.

Так как в точках $x=2$ и $x=-2$ знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю, то прямые $x = 2$ и $x = -2$ являются вертикальными асимптотами.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Ищем асимптоту вида $y = kx + b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x}{x^3 - 4x} = 0$, так как степень знаменателя (3) больше степени числителя (2).

$b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 4}$.

Так как степени числителя и знаменателя равны, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях:

$b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$.

Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальные асимптоты $x = 2$ и $x = -2$, горизонтальная асимптота $y = 1$.