Задания, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Продемонстрируйте справедливость этого утверждения с помощью рисунка 39.2.

1)

Рис. 39.2

Объясните, почему прямая, заданная уравнением $x = 5$, является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$.

Продемонстрируйте справедливость этого утверждения с помощью рисунка 39.2.

На рисунке 39.2 изображен график некоторой функции $y = f(x)$ и вертикальная прямая $x = x_0$. Утверждение $x \to x_0, y \to -\infty$ означает, что при приближении аргумента $x$ к значению $x_0$, значение функции $y$ стремится к минус бесконечности. График наглядно иллюстрирует это утверждение. На нем показана ветвь функции, расположенная справа от прямой $x = x_0$. Если мы будем выбирать точки на этой ветви все ближе и ближе к прямой $x = x_0$ (что соответствует стремлению $x$ к $x_0$ справа, или $x \to x_0^+$), то мы увидим, что эти точки на графике уходят все ниже и ниже, то есть их координата $y$ неограниченно убывает. Таким образом, по мере того как $x$ приближается к $x_0$, $y$ стремится к $-\infty$.

Ответ: На рисунке видно, что по мере приближения значения аргумента $x$ к точке $x_0$ с правой стороны, соответствующая точка на графике функции неограниченно опускается вниз вдоль прямой $x=x_0$, что и означает, что $y$ стремится к $-\infty$.

Объясните, почему прямая, заданная уравнением x = 5, является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$.

Прямая $x = a$ является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x)$, если при приближении $x$ к $a$ (справа или слева) значение функции стремится к бесконечности ($+\infty$ или $-\infty$). Область определения функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$ – это все действительные числа, кроме $x = 5$, так как при $x = 5$ знаменатель дроби обращается в ноль. Это означает, что в точке $x = 5$ функция имеет разрыв, и в этой точке может существовать вертикальная асимптота. Для проверки найдем односторонние пределы функции при $x \to 5$:

1. Когда $x$ стремится к 5 справа ($x \to 5^+$), значения $x$ немного больше 5. Следовательно, знаменатель $x - 5$ является малым положительным числом. Предел в этом случае равен: $\lim_{x\to 5^+} \frac{2}{x - 5} = +\infty$.

2. Когда $x$ стремится к 5 слева ($x \to 5^-$), значения $x$ немного меньше 5. Следовательно, знаменатель $x - 5$ является малым отрицательным числом. Предел в этом случае равен: $\lim_{x\to 5^-} \frac{2}{x - 5} = -\infty$.

Так как при приближении $x$ к 5 функция стремится к бесконечности, то по определению прямая $x = 5$ является вертикальной асимптотой графика функции $f(x)$.

Ответ: Прямая $x = 5$ является вертикальной асимптотой для графика функции $f(x) = \frac{2}{x - 5}$, потому что односторонние пределы функции в этой точке равны бесконечности: $\lim_{x\to 5^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x\to 5^-} f(x) = -\infty$.