Номер 39.5, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

39.5.

1)

2)

Рис. 39.8

1) Рассмотрим график, изображенный на рисунке 1. Он представляет собой график рациональной функции, у которой есть наклонная и вертикальная асимптоты.

Первым шагом определим уравнение наклонной асимптоты (пунктирная линия). Это прямая вида $y = ax + b$. Она проходит через начало координат (0, 0), поэтому $b=0$. Для нахождения углового коэффициента $a$ возьмем еще одну точку на прямой, например, (4, 2).$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2 - 0}{4 - 0} = \frac{1}{2}$.Следовательно, уравнение наклонной асимптоты: $y = \frac{1}{2}x$.

Далее найдем уравнение вертикальной асимптоты. График функции неограниченно приближается к оси $y$ (прямой $x=0$), но не пересекает ее. Таким образом, вертикальная асимптота — это прямая $x=0$.

Функция, имеющая наклонную асимптоту $y = ax + b$ и вертикальную асимптоту $x = d$, может быть записана в виде $y = ax + b + \frac{k}{x-d}$. Подставив найденные параметры асимптот, получаем: $y = \frac{1}{2}x + \frac{k}{x}$.

Чтобы найти неизвестный коэффициент $k$, выберем на графике функции точку с целочисленными координатами. Например, точка локального минимума в первой четверти имеет координаты (2, 2). Подставим эти значения в уравнение функции:

$2 = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{k}{2}$

$2 = 1 + \frac{k}{2}$

$1 = \frac{k}{2}$

$k = 2$.

Итоговое уравнение функции: $y = \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$. Для проверки можно взять точку локального максимума в третьей четверти (-2, -2): $y(-2) = \frac{1}{2}(-2) + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2$. Значение совпало, значит, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{2}{x}$.

2) Рассмотрим график, изображенный на рисунке 2. Это также график рациональной функции.

Найдем уравнение наклонной асимптоты. Пунктирная линия проходит через точки (0, 0) и (2, 2). Уравнение прямой $y = ax+b$. Так как она проходит через начало координат, $b=0$. Угловой коэффициент $a = \frac{2-0}{2-0} = 1$. Уравнение наклонной асимптоты: $y = x$.

Вертикальная асимптота, судя по поведению графика, — это прямая $x=1$.

Общий вид уравнения функции: $y = x + \frac{k}{x-1}$.

Для определения коэффициента $k$ воспользуемся точкой пересечения графика с осью $y$. Эта точка имеет координаты (0, 2). Подставим их в уравнение:

$2 = 0 + \frac{k}{0-1}$

$2 = -k$

$k = -2$.

Таким образом, искомое уравнение функции: $y = x - \frac{2}{x-1}$. Проверим его, используя точку пересечения графика с осью $x$, например, (2, 0): $y(2) = 2 - \frac{2}{2-1} = 2 - 2 = 0$. Равенство верное, уравнение найдено правильно.

Ответ: $y = x - \frac{2}{x-1}$.