Номер 40.1, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.1. Для функции $y = f(x)$ найдите отношение $\Delta f$ к $\Delta x$ при переходе от точки с абсциссой $x$ к точке с абсциссой $x + \Delta x$, если:

1) $f(x) = 3x^2 + 1$;

2) $f(x) = x^2 - 2x$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \sqrt{3x}$;

5) $f(x) = \cos x$;

6) $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$ (так называемое разностное отношение) для функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$ находится по формуле: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$

1) Для функции $f(x) = 3x^2 + 1$

Сначала находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (3(x + \Delta x)^2 + 1) - (3x^2 + 1)$

$= 3(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + 1 - 3x^2 - 1$

$= 3x^2 + 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2 - 3x^2$

$= 6x\Delta x + 3(\Delta x)^2$

Теперь находим искомое отношение, разделив $\Delta f$ на $\Delta x$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6x\Delta x + 3(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(6x + 3\Delta x)}{\Delta x} = 6x + 3\Delta x$

Ответ: $6x + 3\Delta x$

2) Для функции $f(x) = x^2 - 2x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 - 2(x + \Delta x)) - (x^2 - 2x)$

$= (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2x - 2\Delta x) - x^2 + 2x$

$= 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2\Delta x$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 2\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 2)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 2$

Ответ: $2x + \Delta x - 2$

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} - \frac{1}{x}$

Приводим к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{x - (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{x - x - \Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x) \cdot \Delta x} = -\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

Ответ: $-\frac{1}{x(x + \Delta x)}$

4) Для функции $f(x) = \sqrt{3x}$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \sqrt{3(x + \Delta x)} - \sqrt{3x} = \sqrt{3x + 3\Delta x} - \sqrt{3x}$

Для нахождения отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sqrt{3x + 3\Delta x} - \sqrt{3x}}{\Delta x} \cdot \frac{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

$= \frac{(\sqrt{3x + 3\Delta x})^2 - (\sqrt{3x})^2}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})} = \frac{(3x + 3\Delta x) - 3x}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})}$

$= \frac{3\Delta x}{\Delta x (\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x})} = \frac{3}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{3x + 3\Delta x} + \sqrt{3x}}$

5) Для функции $f(x) = \cos x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \cos(x + \Delta x) - \cos x$

Применим тригонометрическую формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$\Delta f = -2\sin\frac{(x+\Delta x)+x}{2}\sin\frac{(x+\Delta x)-x}{2} = -2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

Ответ: $\frac{-2\sin(x + \frac{\Delta x}{2})\sin(\frac{\Delta x}{2})}{\Delta x}$

6) Для функции $f(x) = \operatorname{tg}x$

Находим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = \operatorname{tg}(x + \Delta x) - \operatorname{tg}x$

Применим формулу разности тангенсов, предварительно выразив тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$:

$\Delta f = \frac{\sin((x + \Delta x) - x)}{\cos(x + \Delta x)\cos x} = \frac{\sin(\Delta x)}{\cos(x + \Delta x)\cos x}$

Находим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x \cos(x + \Delta x)\cos x}$

Ответ: $\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x \cos(x + \Delta x)\cos x}$