Номер 40.3, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.3. Найдите $y'(x_0)$ по определению производной в указанной точке:

1) $y = \frac{x-1}{x+1}$ при $x_0 = 2$;

2) $y = \frac{x^2+1}{x-2}$ при $x_0 = 1$;

3) $y = \frac{x+2}{x-4}$ при $x_0 = 5$;

4) $y = \frac{x^2+1}{x^2+5x}$ при $x_0 = -1$;

5) $y = 2x^3$ при $x_0 = 3$;

6) $y = \frac{x^3}{(x+1)^2}$ при $x_0 = -2$.

1) Для функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ в точке $x_0 = 2$ находим производную по определению.

Определение производной: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x}$.

Сначала вычислим значения функции:

$y(x_0) = y(2) = \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(2 + \Delta x) = \frac{(2 + \Delta x) - 1}{(2 + \Delta x) + 1} = \frac{1 + \Delta x}{3 + \Delta x}$.

Теперь подставим в определение производной и вычислим предел:

$y'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1 + \Delta x}{3 + \Delta x} - \frac{1}{3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{3(1 + \Delta x) - 1(3 + \Delta x)}{3(3 + \Delta x)} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3 + 3\Delta x - 3 - \Delta x}{3\Delta x(3 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{3\Delta x(3 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{3(3 + \Delta x)} = \frac{2}{3(3+0)} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

2) Для функции $y = \frac{x^2+1}{x-2}$ в точке $x_0 = 1$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(1) = \frac{1^2+1}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(1 + \Delta x) = \frac{(1 + \Delta x)^2 + 1}{(1 + \Delta x) - 2} = \frac{1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 1}{\Delta x - 1} = \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x - 1}$.

Вычисляем предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x - 1} - (-2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 2(\Delta x - 1)}{\Delta x - 1} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2 + 2\Delta x + (\Delta x)^2 + 2\Delta x - 2}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(4 + \Delta x)}{\Delta x(\Delta x - 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4 + \Delta x}{\Delta x - 1} = \frac{4+0}{0-1} = -4$.

Ответ: $-4$.

3) Для функции $y = \frac{x+2}{x-4}$ в точке $x_0 = 5$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(5) = \frac{5+2}{5-4} = \frac{7}{1} = 7$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(5 + \Delta x) = \frac{(5 + \Delta x) + 2}{(5 + \Delta x) - 4} = \frac{7 + \Delta x}{1 + \Delta x}$.

Вычисляем предел:

$y'(5) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{7 + \Delta x}{1 + \Delta x} - 7}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{7 + \Delta x - 7(1 + \Delta x)}{1 + \Delta x} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{7 + \Delta x - 7 - 7\Delta x}{\Delta x(1 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-6\Delta x}{\Delta x(1 + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-6}{1 + \Delta x} = \frac{-6}{1+0} = -6$.

Ответ: $-6$.

4) Для функции $y = \frac{x^2+1}{x^2+5x}$ в точке $x_0 = -1$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(-1) = \frac{(-1)^2+1}{(-1)^2+5(-1)} = \frac{1+1}{1-5} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(-1 + \Delta x) = \frac{(-1+\Delta x)^2+1}{(-1+\Delta x)^2+5(-1+\Delta x)} = \frac{1-2\Delta x+(\Delta x)^2+1}{1-2\Delta x+(\Delta x)^2-5+5\Delta x} = \frac{2-2\Delta x+(\Delta x)^2}{-4+3\Delta x+(\Delta x)^2}$.

Вычисляем предел:

$y'(-1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2-2\Delta x+(\Delta x)^2}{-4+3\Delta x+(\Delta x)^2} - (-\frac{1}{2})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{2(2-2\Delta x+(\Delta x)^2) + 1(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)}{2(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{4-4\Delta x+2(\Delta x)^2 - 4+3\Delta x+(\Delta x)^2}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x+3(\Delta x)^2}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-1+3\Delta x)}{2\Delta x(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1+3\Delta x}{2(-4+3\Delta x+(\Delta x)^2)} = \frac{-1+0}{2(-4+0+0)} = \frac{-1}{-8} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.

5) Для функции $y = 2x^3$ в точке $x_0 = 3$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(3) = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(3 + \Delta x) = 2(3 + \Delta x)^3 = 2(27 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 54 + 54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3$.

Вычисляем предел:

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(54 + 54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3) - 54}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{54\Delta x + 18(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(54 + 18\Delta x + 2(\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (54 + 18\Delta x + 2(\Delta x)^2) = 54+0+0 = 54$.

Ответ: $54$.

6) Для функции $y = \frac{x^3}{(x+1)^2}$ в точке $x_0 = -2$ находим производную по определению.

$y(x_0) = y(-2) = \frac{(-2)^3}{(-2+1)^2} = \frac{-8}{(-1)^2} = -8$.

$y(x_0 + \Delta x) = y(-2 + \Delta x) = \frac{(-2+\Delta x)^3}{(-2+\Delta x+1)^2} = \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{(-1+\Delta x)^2} = \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2}$.

Вычисляем предел:

$y'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} - (-8)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 8(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} \right) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-8 + 12\Delta x - 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 8 - 16\Delta x + 8(\Delta x)^2}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4\Delta x + 2(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-4 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x(1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4 + 2\Delta x + (\Delta x)^2}{1 - 2\Delta x + (\Delta x)^2} = \frac{-4+0+0}{1-0+0} = -4$.

Ответ: $-4$.