Номер 40.2, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.2. Найдите $\Delta x$ и $\Delta f$ в точке с абсциссой $x_0$ и отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

1) $f(x) = 5x - x^2$, $x_0 = 5,2$, $x = 5,3$;

2) $f(x) = x + 2x^2 - 1$, $x_0 = -6,4$, $x = -6,5$;

3) $f(x) = \sin3x - 2$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

4) $f(x) = \cos2x + 2$, $x_0 = -\frac{\pi}{3}$, $x = -\frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = 5x - x^2$, точка $x_0 = 5,2$ и $x = 5,3$.

Приращение аргумента $\Delta x$ равно разности между новым и начальным значением аргумента:

$\Delta x = x - x_0 = 5,3 - 5,2 = 0,1$.

Приращение функции $\Delta f$ равно разности значений функции в точках $x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(5,3) - f(5,2)$.

Вычислим значения функции:

$f(5,3) = 5 \cdot 5,3 - (5,3)^2 = 26,5 - 28,09 = -1,59$.

$f(5,2) = 5 \cdot 5,2 - (5,2)^2 = 26 - 27,04 = -1,04$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = -1,59 - (-1,04) = -1,59 + 1,04 = -0,55$.

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-0,55}{0,1} = -5,5$.

Ответ: $\Delta x = 0,1$; $\Delta f = -0,55$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -5,5$.

2) Дана функция $f(x) = x + 2x^2 - 1$, точка $x_0 = -6,4$ и $x = -6,5$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = -6,5 - (-6,4) = -6,5 + 6,4 = -0,1$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(-6,5) - f(-6,4)$.

Вычислим значения функции:

$f(-6,5) = -6,5 + 2(-6,5)^2 - 1 = -6,5 + 2 \cdot 42,25 - 1 = -6,5 + 84,5 - 1 = 77$.

$f(-6,4) = -6,4 + 2(-6,4)^2 - 1 = -6,4 + 2 \cdot 40,96 - 1 = -6,4 + 81,92 - 1 = 74,52$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = 77 - 74,52 = 2,48$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2,48}{-0,1} = -24,8$.

Ответ: $\Delta x = -0,1$; $\Delta f = 2,48$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -24,8$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(3x) - 2$, точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(\frac{\pi}{4}) - f(\frac{\pi}{3})$.

Вычислим значения функции:

$f(\frac{\pi}{4}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{4}) - 2 = \sin(\frac{3\pi}{4}) - 2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 2$.

$f(\frac{\pi}{3}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - 2 = \sin(\pi) - 2 = 0 - 2 = -2$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = (\frac{\sqrt{2}}{2} - 2) - (-2) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + 2 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\pi}{12}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{12}{\pi} = -\frac{12\sqrt{2}}{2\pi} = -\frac{6\sqrt{2}}{\pi}$.

Ответ: $\Delta x = -\frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = -\frac{6\sqrt{2}}{\pi}$.

4) Дана функция $f(x) = \cos(2x) + 2$, точка $x_0 = -\frac{\pi}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{4}$.

Найдем приращение аргумента $\Delta x$:

$\Delta x = x - x_0 = -\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{-3\pi + 4\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.

Найдем приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = f(x) - f(x_0) = f(-\frac{\pi}{4}) - f(-\frac{\pi}{3})$.

Вычислим значения функции:

$f(-\frac{\pi}{4}) = \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) + 2 = \cos(-\frac{\pi}{2}) + 2 = 0 + 2 = 2$.

$f(-\frac{\pi}{3}) = \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{3})) + 2 = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем $\Delta f$:

$\Delta f = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Найдем отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{\pi} = \frac{12}{2\pi} = \frac{6}{\pi}$.

Ответ: $\Delta x = \frac{\pi}{12}$; $\Delta f = \frac{1}{2}$; $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{6}{\pi}$.