Номер 40.5, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.5. Пользуясь определением производной, найдите значение $y'(x)$ в точке $x_0 = 1$:

1) $y = \frac{2}{x^2}$;

2) $y = \frac{1}{x^3}$;

3) $y = \sqrt{1 + 2x}$;

4) $y = \sqrt{4 - 3x}$.

Для нахождения значения производной $y'(x)$ в точке $x_0=1$ воспользуемся определением производной: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

1) Для функции $y = f(x) = \frac{2}{x^2}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \frac{2}{1^2} = 2$.

Найдём предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{2}{(1 + \Delta x)^2} - 2}{\Delta x}$.

Упростим выражение под знаком предела:

$\frac{\frac{2 - 2(1 + \Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^2}}{\Delta x} = \frac{2 - 2(1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{2 - 2 - 4\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4\Delta x - 2(\Delta x)^2}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{\Delta x(-4 - 2\Delta x)}{\Delta x(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4 - 2\Delta x}{(1 + \Delta x)^2}$.

Вычислим предел, подставив $\Delta x = 0$:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4 - 2\Delta x}{(1 + \Delta x)^2} = \frac{-4 - 0}{(1+0)^2} = -4$.

Ответ: -4.

2) Для функции $y = f(x) = \frac{1}{x^3}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \Delta x)^3} - 1}{\Delta x}$.

Упростим выражение:

$\frac{\frac{1 - (1 + \Delta x)^3}{(1 + \Delta x)^3}}{\Delta x} = \frac{1 - (1 + 3\Delta x + 3(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3)}{\Delta x(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3\Delta x - 3(\Delta x)^2 - (\Delta x)^3}{\Delta x(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3 - 3\Delta x - (\Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^3}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3 - 3\Delta x - (\Delta x)^2}{(1 + \Delta x)^3} = \frac{-3 - 0 - 0}{(1+0)^3} = -3$.

Ответ: -3.

3) Для функции $y = f(x) = \sqrt{1 + 2x}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \sqrt{1 + 2(1)} = \sqrt{3}$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2(1 + \Delta x)} - \sqrt{3}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{3 + 2\Delta x} - \sqrt{3}}{\Delta x}$.

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{3 + 2\Delta x} - \sqrt{3})(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(3 + 2\Delta x) - 3}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x(\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3})} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3 + 2\Delta x} + \sqrt{3}}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \frac{2}{\sqrt{3 + 0} + \sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

4) Для функции $y = f(x) = \sqrt{4 - 3x}$.

Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \sqrt{4 - 3(1)} = \sqrt{1} = 1$.

Найдём предел:

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{4 - 3(1 + \Delta x)} - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{1 - 3\Delta x} - 1}{\Delta x}$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)$:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(\sqrt{1 - 3\Delta x} - 1)(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 - 3\Delta x) - 1}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3\Delta x}{\Delta x(\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{\sqrt{1 - 3\Delta x} + 1}$.

Вычислим предел:

$y'(1) = \frac{-3}{\sqrt{1 - 0} + 1} = \frac{-3}{1 + 1} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.