Номер 40.11, страница 67, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.11. Среди прямых, заданных формулой, найдите пары параллельных и ортогональных прямых:

1) $y = x - 3$;

2) $y = -2x + 3$;

3) $y = 1 - x$;

4) $y = \frac{1}{3}x - 1$;

5) $y = 5 + \frac{1}{3}x$;

6) $y = 3 - x$.

Для того чтобы найти пары параллельных и ортогональных прямых, необходимо определить угловые коэффициенты $k$ для каждой из заданных прямых вида $y = kx + b$.

Найдем угловые коэффициенты для каждой прямой:

1) $y = x - 3$. Угловой коэффициент $k_1 = 1$.

2) $y = -2x + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -2$.

3) $y = 1 - x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = -x + 1$. Угловой коэффициент $k_3 = -1$.

4) $y = \frac{1}{3}x - 1$. Угловой коэффициент $k_4 = \frac{1}{3}$.

5) $y = 5 + \frac{1}{3}x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = \frac{1}{3}x + 5$. Угловой коэффициент $k_5 = \frac{1}{3}$.

6) $y = 3 - x$. Перепишем уравнение в стандартном виде $y = -x + 3$. Угловой коэффициент $k_6 = -1$.

Пары параллельных прямых

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются параллельными, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — нет, то есть $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Сравним найденные угловые коэффициенты:

- У прямых 3) и 6) угловые коэффициенты совпадают: $k_3 = k_6 = -1$. Свободные члены различны ($1 \neq 3$), следовательно, прямые 3) и 6) параллельны.

- У прямых 4) и 5) угловые коэффициенты также совпадают: $k_4 = k_5 = \frac{1}{3}$. Свободные члены различны ($-1 \neq 5$), следовательно, прямые 4) и 5) параллельны.

Ответ: Пары параллельных прямых: 3) и 6); 4) и 5).

Пары ортогональных прямых

Две прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$ являются ортогональными (перпендикулярными), если произведение их угловых коэффициентов равно $-1$, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. Проверим это условие для пар прямых, перебирая их угловые коэффициенты.

1. Для прямой 1) с $k_1 = 1$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{1} = -1$. Этому условию удовлетворяют прямые 3) ($k_3 = -1$) и 6) ($k_6 = -1$). Проверим произведение: $k_1 \cdot k_3 = 1 \cdot (-1) = -1$ и $k_1 \cdot k_6 = 1 \cdot (-1) = -1$. Следовательно, пары (1, 3) и (1, 6) — ортогональны.

2. Для прямой 2) с $k_2 = -2$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$. Такой прямой среди заданных нет.

3. Для прямых 4) и 5) с $k_{4,5} = \frac{1}{3}$ ищем прямую с коэффициентом $k = -\frac{1}{1/3} = -3$. Такой прямой среди заданных нет.

Таким образом, мы нашли все пары ортогональных прямых.

Ответ: Пары ортогональных прямых: 1) и 3); 1) и 6).