Вопросы, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Перечислите правила нахождения производных.

2. Для каких функций справедливы правила нахождения производных?

1. Существует несколько основных правил для нахождения производных, которые также называют правилами дифференцирования. Пусть $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, а $c$ — постоянная величина (константа).

Производная константы

Производная любой постоянной функции равна нулю.

Формула: $c' = 0$

Вынесение постоянного множителя

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Формула: $(c \cdot u(x))' = c \cdot u'(x)$

Производная суммы/разности

Производная суммы или разности двух функций равна сумме или разности их производных.

Формула: $(u(x) \pm v(x))' = u'(x) \pm v'(x)$

Производная произведения

Производная произведения двух функций находится по следующей формуле:

Формула: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

Производная частного

Производная частного (или дроби) двух функций находится по следующей формуле, при условии, что знаменатель не равен нулю.

Формула: $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$, где $v(x) \neq 0$

Производная сложной функции (цепное правило)

Производная сложной функции (композиции функций) равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по основному аргументу.

Формула: Если $y = f(g(x))$, то $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ответ: Правила нахождения производных: производная константы, вынесение постоянного множителя, производная суммы и разности, производная произведения, производная частного, производная сложной функции.

2. Правила нахождения производных справедливы для дифференцируемых функций.

Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке у нее существует конечная производная. Это означает, что в окрестности этой точки график функции можно с высокой точностью приблизить прямой линией (касательной), а сама функция является непрерывной в этой точке.

Таким образом, для того чтобы можно было применять правила дифференцирования, необходимо выполнение следующих условий:

• Для правил, включающих одну функцию (например, умножение на константу), эта функция должна быть дифференцируема в рассматриваемой точке.

• Для правил суммы, разности, произведения и частного обе функции ($u(x)$ и $v(x)$) должны быть дифференцируемы в рассматриваемой точке. В случае с частным, дополнительно требуется, чтобы функция в знаменателе ($v(x)$) не обращалась в ноль в этой точке.

• Для производной сложной функции $f(g(x))$ в точке $x_0$, внутренняя функция $g(x)$ должна быть дифференцируема в точке $x_0$, а внешняя функция $f(u)$ должна быть дифференцируема в точке $u_0 = g(x_0)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то соответствующее правило дифференцирования применять нельзя.

Ответ: Правила нахождения производных справедливы для функций, которые являются дифференцируемыми в точке или на интервале, где вычисляется производная.