Номер 41.2, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.2. 1) $f(x) = 3x(x - 1);$

2) $f(x) = x^2(x^3 - \sqrt{3} x);$

3) $f(x) = (x^2 + 3)(x - 5);$

4) $f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{7} x;$

5) $f(x) = \frac{x - 2}{x + 3} - 5x;$

6) $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 4} - 3x + 2.$

1) Для функции $f(x) = 3x(x - 1)$, сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $f(x) = 3x^2 - 3x$. Затем найдем производную, используя правило дифференцирования для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для суммы/разности функций. Производная от $3x^2$ равна $3 \cdot 2x = 6x$. Производная от $3x$ равна $3$. Таким образом, $f'(x) = (3x^2 - 3x)' = 6x - 3$.

Ответ: $f'(x) = 6x - 3$.

2) Для функции $f(x) = x^2(x^3 - \sqrt{3}x)$, сначала раскроем скобки: $f(x) = x^2 \cdot x^3 - x^2 \cdot \sqrt{3}x = x^5 - \sqrt{3}x^3$. Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя правило дифференцирования степенной функции. Производная от $x^5$ равна $5x^4$. Производная от $\sqrt{3}x^3$ равна $\sqrt{3} \cdot 3x^2 = 3\sqrt{3}x^2$. Следовательно, $f'(x) = (x^5 - \sqrt{3}x^3)' = 5x^4 - 3\sqrt{3}x^2$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4 - 3\sqrt{3}x^2$.

3) Для функции $f(x) = (x^2 + 3)(x - 5)$, воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^2 + 3$ и $v(x) = x - 5$. Тогда их производные равны $u'(x) = 2x$ и $v'(x) = 1$. Подставим эти значения в формулу: $f'(x) = (x^2+3)'(x-5) + (x^2+3)(x-5)' = 2x(x-5) + (x^2+3) \cdot 1$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $f'(x) = 2x^2 - 10x + x^2 + 3 = 3x^2 - 10x + 3$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 - 10x + 3$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{x} - \sqrt{7}x$, перепишем первое слагаемое в виде степени: $f(x) = 2x^{-1} - \sqrt{7}x$. Теперь применим правило дифференцирования степенной функции. Производная от $2x^{-1}$ равна $2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$. Производная от $\sqrt{7}x$ равна $\sqrt{7}$. Таким образом, $f'(x) = (2x^{-1} - \sqrt{7}x)' = -\frac{2}{x^2} - \sqrt{7}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2}{x^2} - \sqrt{7}$.

5) Для функции $f(x) = \frac{x-2}{x+3} - 5x$, найдем производную каждого слагаемого. Производная от $-5x$ равна $-5$. Для дроби $\frac{x-2}{x+3}$ применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u(x) = x - 2$ и $v(x) = x + 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 1$. Подставляем в формулу: $(\frac{x-2}{x+3})' = \frac{1 \cdot (x+3) - (x-2) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3-x+2}{(x+3)^2} = \frac{5}{(x+3)^2}$. Итоговая производная: $f'(x) = \frac{5}{(x+3)^2} - 5$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{(x+3)^2} - 5$.

6) Для функции $f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x - 4} - 3x + 2$, сначала упростим дробное слагаемое, выделив целую часть: $\frac{x^2 - 2x}{x - 4} = \frac{x^2 - 4x + 2x}{x - 4} = \frac{x(x - 4) + 2x}{x - 4} = x + \frac{2x}{x - 4} = x + \frac{2(x-4)+8}{x-4} = x + 2 + \frac{8}{x-4}$. Подставим это в исходную функцию: $f(x) = (x + 2 + \frac{8}{x-4}) - 3x + 2 = -2x + 4 + \frac{8}{x-4}$. Теперь находить производную проще: $f'(x) = (-2x + 4 + 8(x-4)^{-1})'$. Производная от $-2x$ равна $-2$, от $4$ равна $0$. Производная от $8(x-4)^{-1}$ равна $8 \cdot (-1)(x-4)^{-2} = -\frac{8}{(x-4)^2}$. Таким образом, $f'(x) = -2 - \frac{8}{(x-4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -2 - \frac{8}{(x-4)^2}$.