Номер 41.8, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.8. Найдите значение производной функции в точке $x = -1$:

1) $f(x) = x^2 + \sqrt{x+2} - \sqrt{3}$;

2) $f(x) = x^3 - \sqrt{x+5} - 1$;

3) $f(x) = \sqrt{2x^2} + \sqrt{x+2} - \sqrt{2x}$.

1) Дана функция $f(x) = x^2 + \sqrt{x+2} - \sqrt{3}$.

Для нахождения значения производной в точке $x = -1$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования.

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $f'(x) = (x^2)' + (\sqrt{x+2})' - (\sqrt{3})'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная степенной функции $(x^2)' = 2x$.

• Производная константы $(\sqrt{3})' = 0$.

• Производная сложной функции $(\sqrt{x+2})'$ находится по формуле $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Здесь $u = x+2$, и $u' = 1$. Следовательно, $(\sqrt{x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Собираем производные вместе:

$f'(x) = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+2}} - 0 = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x+2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = 2(-1) + \frac{1}{2\sqrt{-1+2}} = -2 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = -2 + \frac{1}{2} = -1.5$.

Ответ: $-1.5$

2) Дана функция $f(x) = x^3 - \sqrt{x+5} - 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - \sqrt{x+5} - 1)' = (x^3)' - (\sqrt{x+5})' - (1)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

• Производная степенной функции $(x^3)' = 3x^2$.

• Производная сложной функции $(\sqrt{x+5})' = \frac{(x+5)'}{2\sqrt{x+5}} = \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.

• Производная константы $(1)' = 0$.

Таким образом, производная функции равна:

$f'(x) = 3x^2 - \frac{1}{2\sqrt{x+5}}$.

Вычислим значение производной в точке $x = -1$:

$f'(-1) = 3(-1)^2 - \frac{1}{2\sqrt{-1+5}} = 3(1) - \frac{1}{2\sqrt{4}} = 3 - \frac{1}{2 \cdot 2} = 3 - \frac{1}{4} = \frac{12-1}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$.

Ответ: $2.75$

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x^2} + \sqrt{x+2} - \sqrt{2x}$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо проверить, определена ли функция в этой точке. Для этого найдем область определения функции $f(x)$.

Функция является суммой трех слагаемых, поэтому она определена только для тех $x$, для которых определено каждое слагаемое.

1. Для слагаемого $\sqrt{2x^2}$ подкоренное выражение $2x^2 \ge 0$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется для любого действительного $x$.

2. Для слагаемого $\sqrt{x+2}$ должно выполняться условие $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

3. Для слагаемого $\sqrt{2x}$ должно выполняться условие $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Область определения функции $f(x)$ является пересечением этих условий, то есть $x \ge 0$. Это промежуток $[0; +\infty)$.

Точка $x = -1$, в которой требуется найти производную, не принадлежит области определения функции, так как $-1 < 0$.

Поскольку функция не определена в точке $x = -1$, то и ее производная в этой точке не существует.

Ответ: Производная в точке $x = -1$ не существует.