Номер 41.11, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.11. 1) $f(x) = 2 - \frac{\sqrt{x}}{x+1}$;

2) $f(x) = \frac{2-\sqrt{x}}{x-2} + 3$;

3) $f(x) = \frac{3\sqrt{x}}{9+2x} - \sqrt{x}$.

1)Для функции $f(x) = 2 - \frac{\sqrt{x}}{x+1}$ найдем ее производную $f'(x)$.

Производная константы равна нулю, а производная разности равна разности производных, поэтому:

$f'(x) = (2)' - (\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = -(\frac{\sqrt{x}}{x+1})'$.

Для нахождения производной дроби $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = \sqrt{x}$ и $v = x+1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (x+1)' = 1$

Подставляем найденные производные в формулу частного:

$(\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} = \frac{x+1 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной дроби:

$(\frac{\sqrt{x}}{x+1})' = \frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Теперь найдем производную исходной функции, не забывая про знак минуса:

$f'(x) = - \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} = \frac{-(1-x)}{2\sqrt{x}(x+1)^2} = \frac{x-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

2)Для функции $f(x) = \frac{2-\sqrt{x}}{x-2} + 3$ найдем ее производную $f'(x)$.

Производная константы равна нулю, а производная суммы равна сумме производных, поэтому:

$f'(x) = (\frac{2-\sqrt{x}}{x-2})' + (3)' = (\frac{2-\sqrt{x}}{x-2})'$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = 2-\sqrt{x}$ и $v = x-2$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (2-\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (x-2)' = 1$

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(-\frac{1}{2\sqrt{x}})(x-2) - (2-\sqrt{x}) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-\frac{x-2}{2\sqrt{x}} - (2-\sqrt{x})}{(x-2)^2}$.

Упростим числитель, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$-\frac{x-2}{2\sqrt{x}} - (2-\sqrt{x}) = \frac{-(x-2) - (2-\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{-x+2 - (4\sqrt{x}-2x)}{2\sqrt{x}} = \frac{-x+2-4\sqrt{x}+2x}{2\sqrt{x}} = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}$.

Подставим полученное выражение в производную:

$f'(x) = \frac{\frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}}}{(x-2)^2} = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x-4\sqrt{x}+2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}$.

3)Для функции $f(x) = \frac{3\sqrt{x}}{9+2x} - \sqrt{x}$ найдем ее производную $f'(x)$.

Используем правило производной разности: $f'(x) = (\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})' - (\sqrt{x})'$.

1. Найдем производную первого слагаемого $(\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})'$ по правилу частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u=3\sqrt{x}$, $v=9+2x$.

$u' = (3\sqrt{x})' = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

$v' = (9+2x)' = 2$

$(\frac{3\sqrt{x}}{9+2x})' = \frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(9+2x) - 3\sqrt{x} \cdot 2}{(9+2x)^2} = \frac{\frac{27+6x}{2\sqrt{x}} - 6\sqrt{x}}{(9+2x)^2} = \frac{\frac{27+6x - 12x}{2\sqrt{x}}}{(9+2x)^2} = \frac{27-6x}{2\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

2. Найдем производную второго слагаемого: $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Вычтем вторую производную из первой:

$f'(x) = \frac{27-6x}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{x}(9+2x)^2$:

$f'(x) = \frac{27-6x - 1 \cdot (9+2x)^2}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} = \frac{27-6x - (81+36x+4x^2)}{2\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$27-6x - 81-36x-4x^2 = -4x^2 - 42x - 54 = -2(2x^2 + 21x + 27)$.

Подставим в производную:

$f'(x) = \frac{-2(2x^2 + 21x + 27)}{2\sqrt{x}(9+2x)^2} = -\frac{2x^2 + 21x + 27}{\sqrt{x}(9+2x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{2x^2 + 21x + 27}{\sqrt{x}(9+2x)^2}$.