Номер 41.12, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.12. Докажите, что при всех допустимых значениях x производная функции $y = f(x)$ принимает отрицательные значения:

1) $f(x) = -2x + \frac{2}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^5}$;

3) $f(x) = -3\sqrt{x} + \frac{2}{x}$.

1) Дана функция $f(x) = -2x + \frac{2}{x^3}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этой функции определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Чтобы найти производную, представим функцию в виде со степенными членами: $f(x) = -2x + 2x^{-3}$. Теперь воспользуемся правилами дифференцирования: $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot u)' = c \cdot u'$. $f'(x) = (-2x + 2x^{-3})' = (-2x)' + (2x^{-3})' = -2 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)x^{-3-1} = -2 - 6x^{-4}$. Запишем производную в виде дроби: $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Для любого допустимого значения $x$ (то есть $x \neq 0$), выражение $x^4$ всегда будет положительным, так как четная степень любого ненулевого действительного числа положительна. Следовательно, $x^4 > 0$. Тогда дробь $\frac{6}{x^4}$ также всегда будет положительной. Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел: $-2$ и $-\frac{6}{x^4}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Значит, $f'(x) < 0$ при всех $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -2 - \frac{6}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ при всех $x \neq 0$, то слагаемое $-\frac{6}{x^4}$ всегда отрицательно. Сумма двух отрицательных слагаемых ($-2$ и $-\frac{6}{x^4}$) всегда отрицательна.

2) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{x^5}$. Область допустимых значений определяется условиями $x \neq 0$ и $x^5 \neq 0$, что сводится к одному условию $x \neq 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{-1} + 5x^{-5}$. Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции: $f'(x) = (x^{-1} + 5x^{-5})' = (x^{-1})' + (5x^{-5})' = -1 \cdot x^{-1-1} + 5 \cdot (-5)x^{-5-1} = -x^{-2} - 25x^{-6}$. Запишем производную в виде дробей: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x \neq 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Для любого $x \neq 0$, выражения $x^2$ и $x^6$ всегда положительны, так как это степени с четными показателями. Следовательно, $x^2 > 0$ и $x^6 > 0$. Тогда дроби $\frac{1}{x^2}$ и $\frac{25}{x^6}$ также всегда положительны. Производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных чисел: $-\frac{1}{x^2}$ и $-\frac{25}{x^6}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех допустимых значениях $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{25}{x^6}$. Так как $x^2 > 0$ и $x^6 > 0$ при всех $x \neq 0$, оба слагаемых $-\frac{1}{x^2}$ и $-\frac{25}{x^6}$ отрицательны, и их сумма всегда отрицательна.

3) Дана функция $f(x) = -3\sqrt{x} + \frac{2}{x}$. Область допустимых значений определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \geq 0$), а знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$, или $x \in (0; +\infty)$. Представим функцию в виде $f(x) = -3x^{1/2} + 2x^{-1}$. Найдем производную: $f'(x) = (-3x^{1/2} + 2x^{-1})' = (-3x^{1/2})' + (2x^{-1})' = -3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 2 \cdot (-1)x^{-1-1} = -\frac{3}{2}x^{-1/2} - 2x^{-2}$. Запишем производную в более привычном виде: $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. Нам нужно доказать, что $f'(x) < 0$ для всех $x > 0$. Рассмотрим выражение $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. В области определения функции $x > 0$. При $x > 0$, корень $\sqrt{x}$ является положительным числом, следовательно, дробь $\frac{3}{2\sqrt{x}}$ также положительна. При $x > 0$, $x^2$ также является положительным числом, следовательно, дробь $\frac{2}{x^2}$ положительна. Таким образом, производная $f'(x)$ представляет собой сумму двух отрицательных слагаемых: $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$ и $-\frac{2}{x^2}$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех $x > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{2}{x^2}$. В области определения $x > 0$, оба слагаемых $-\frac{3}{2\sqrt{x}}$ и $-\frac{2}{x^2}$ отрицательны, следовательно, их сумма всегда отрицательна.