Номер 42.1, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.1. Найдите производную функции в указанной точке, используя определение. Дайте геометрическое и физическое истолкование полученного результата:

1) $y = 2 + \frac{3x+1}{5x+1}$ при $x = 4$;

2) $y = \frac{x^2+2}{2x+3} - 3$ при $x = 1$;

3) $y = \frac{x-2}{x+4}$ при $x = 7$;

4) $y = \frac{x^2+1}{2x^2+3x}$ при $x = 3$;

5) $y = x^3 - 7$ при $x = 3$;

6) $y = \frac{x^3}{3(x+1)^2} - 5,2$ при $x = 1$.

1) Найдем производную функции $y = 2 + \frac{3x+1}{5x+1}$ в точке $x_0 = 4$, используя определение.

Определение производной в точке $x_0$: $y'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x_0 + \Delta x) - y(x_0)}{\Delta x}$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$y(4) = 2 + \frac{3 \cdot 4 + 1}{5 \cdot 4 + 1} = 2 + \frac{13}{21} = \frac{42}{21} + \frac{13}{21} = \frac{55}{21}$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 + \Delta x = 4 + \Delta x$:

$y(4 + \Delta x) = 2 + \frac{3(4 + \Delta x) + 1}{5(4 + \Delta x) + 1} = 2 + \frac{12 + 3\Delta x + 1}{20 + 5\Delta x + 1} = 2 + \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x}$.

Найдем приращение функции $\Delta y = y(4 + \Delta x) - y(4)$:

$\Delta y = \left(2 + \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x}\right) - \left(2 + \frac{55}{21}\right) = \frac{13 + 3\Delta x}{21 + 5\Delta x} - \frac{13}{21}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta y = \frac{21(13 + 3\Delta x) - 13(21 + 5\Delta x)}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{273 + 63\Delta x - 273 - 65\Delta x}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{21(21 + 5\Delta x)}$.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-2\Delta x}{\Delta x \cdot 21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2}{21(21 + 5\Delta x)}$.

Теперь найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$y'(4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{21(21 + 5\Delta x)} = \frac{-2}{21(21 + 5 \cdot 0)} = \frac{-2}{21 \cdot 21} = -\frac{2}{441}$.

Геометрическое истолкование: значение производной функции в точке $x_0 = 4$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 4$. Таким образом, угловой коэффициент касательной равен $-\frac{2}{441}$.

Физическое истолкование: если $y(x)$ описывает закон прямолинейного движения точки (где $y$ - координата, а $x$ - время), то производная $y'(4)$ представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени $x=4$. Мгновенная скорость равна $-\frac{2}{441}$.

Ответ: $y'(4) = -\frac{2}{441}$.

2) Найдем производную функции $y = \frac{x^2+2}{2x+3} - 3$ в точке $x_0 = 1$, используя определение.

$y(1) = \frac{1^2+2}{2 \cdot 1+3} - 3 = \frac{3}{5} - 3 = \frac{3-15}{5} = -\frac{12}{5}$.

$y(1 + \Delta x) = \frac{(1+\Delta x)^2+2}{2(1+\Delta x)+3} - 3 = \frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2+2}{2+2\Delta x+3} - 3 = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3$.

$\Delta y = y(1 + \Delta x) - y(1) = \left(\frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3\right) - \left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - 3 + \frac{12}{5} = \frac{(\Delta x)^2+2\Delta x+3}{2\Delta x+5} - \frac{3}{5}$.

$\Delta y = \frac{5((\Delta x)^2+2\Delta x+3) - 3(2\Delta x+5)}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5(\Delta x)^2+10\Delta x+15 - 6\Delta x-15}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5(\Delta x)^2+4\Delta x}{5(2\Delta x+5)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(5\Delta x+4)}{\Delta x \cdot 5(2\Delta x+5)} = \frac{5\Delta x+4}{5(2\Delta x+5)}$.

$y'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{5\Delta x+4}{5(2\Delta x+5)} = \frac{5 \cdot 0+4}{5(2 \cdot 0+5)} = \frac{4}{25}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$ равен $\frac{4}{25}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=1$ равна $\frac{4}{25}$.

Ответ: $y'(1) = \frac{4}{25}$.

3) Найдем производную функции $y = \frac{x-2}{x+4}$ в точке $x_0 = 7$, используя определение.

$y(7) = \frac{7-2}{7+4} = \frac{5}{11}$.

$y(7 + \Delta x) = \frac{(7+\Delta x)-2}{(7+\Delta x)+4} = \frac{5+\Delta x}{11+\Delta x}$.

$\Delta y = y(7 + \Delta x) - y(7) = \frac{5+\Delta x}{11+\Delta x} - \frac{5}{11}$.

$\Delta y = \frac{11(5+\Delta x) - 5(11+\Delta x)}{11(11+\Delta x)} = \frac{55+11\Delta x - 55-5\Delta x}{11(11+\Delta x)} = \frac{6\Delta x}{11(11+\Delta x)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6\Delta x}{\Delta x \cdot 11(11+\Delta x)} = \frac{6}{11(11+\Delta x)}$.

$y'(7) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{6}{11(11+\Delta x)} = \frac{6}{11(11+0)} = \frac{6}{121}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 7$ равен $\frac{6}{121}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=7$ равна $\frac{6}{121}$.

Ответ: $y'(7) = \frac{6}{121}$.

4) Найдем производную функции $y = \frac{x^2+1}{2x^2+3x}$ в точке $x_0 = 3$, используя определение.

$y(3) = \frac{3^2+1}{2 \cdot 3^2+3 \cdot 3} = \frac{10}{18+9} = \frac{10}{27}$.

$y(3 + \Delta x) = \frac{(3+\Delta x)^2+1}{2(3+\Delta x)^2+3(3+\Delta x)} = \frac{9+6\Delta x+(\Delta x)^2+1}{2(9+6\Delta x+(\Delta x)^2)+9+3\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{18+12\Delta x+2(\Delta x)^2+9+3\Delta x} = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{2(\Delta x)^2+15\Delta x+27}$.

$\Delta y = y(3 + \Delta x) - y(3) = \frac{(\Delta x)^2+6\Delta x+10}{2(\Delta x)^2+15\Delta x+27} - \frac{10}{27}$.

$\Delta y = \frac{27((\Delta x)^2+6\Delta x+10) - 10(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{27(\Delta x)^2+162\Delta x+270 - 20(\Delta x)^2-150\Delta x-270}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7(\Delta x)^2+12\Delta x}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta x(7\Delta x+12)}{\Delta x \cdot 27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7\Delta x+12}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)}$.

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{7\Delta x+12}{27(2(\Delta x)^2+15\Delta x+27)} = \frac{7 \cdot 0+12}{27(2 \cdot 0^2+15 \cdot 0+27)} = \frac{12}{27 \cdot 27} = \frac{12}{729} = \frac{4}{243}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен $\frac{4}{243}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=3$ равна $\frac{4}{243}$.

Ответ: $y'(3) = \frac{4}{243}$.

5) Найдем производную функции $y = x^3 - 7$ в точке $x_0 = 3$, используя определение.

$y(3) = 3^3 - 7 = 27 - 7 = 20$.

$y(3 + \Delta x) = (3+\Delta x)^3 - 7 = (3^3 + 3 \cdot 3^2 \Delta x + 3 \cdot 3 (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 7 = (27 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 7 = 20 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

$\Delta y = y(3 + \Delta x) - y(3) = (20 + 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 20 = 27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{27\Delta x + 9(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 27 + 9\Delta x + (\Delta x)^2$.

$y'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} (27 + 9\Delta x + (\Delta x)^2) = 27 + 9 \cdot 0 + 0^2 = 27$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$ равен $27$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=3$ равна $27$.

Ответ: $y'(3) = 27$.

6) Найдем производную функции $y = \frac{x^3}{3(x+1)^2} - 5,2$ в точке $x_0 = 1$, используя определение.

Производная константы равна нулю, поэтому $y'(x) = \left(\frac{x^3}{3(x+1)^2}\right)'$. Обозначим $f(x) = \frac{x^3}{3(x+1)^2}$.

$f(1) = \frac{1^3}{3(1+1)^2} = \frac{1}{3 \cdot 2^2} = \frac{1}{12}$.

$f(1 + \Delta x) = \frac{(1+\Delta x)^3}{3((1+\Delta x)+1)^2} = \frac{(1+\Delta x)^3}{3(2+\Delta x)^2}$.

$\Delta f = f(1 + \Delta x) - f(1) = \frac{(1+\Delta x)^3}{3(2+\Delta x)^2} - \frac{1}{12} = \frac{4(1+\Delta x)^3 - (2+\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:

$4(1+3\Delta x+3(\Delta x)^2+(\Delta x)^3) - (4+4\Delta x+(\Delta x)^2) = 4+12\Delta x+12(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3 - 4-4\Delta x-(\Delta x)^2 = 8\Delta x+11(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3$.

$\Delta f = \frac{8\Delta x+11(\Delta x)^2+4(\Delta x)^3}{12(2+\Delta x)^2}$.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x(8+11\Delta x+4(\Delta x)^2)}{\Delta x \cdot 12(2+\Delta x)^2} = \frac{8+11\Delta x+4(\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2}$.

$y'(1) = f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{8+11\Delta x+4(\Delta x)^2}{12(2+\Delta x)^2} = \frac{8+11 \cdot 0+4 \cdot 0^2}{12(2+0)^2} = \frac{8}{12 \cdot 4} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6}$.

Геометрическое истолкование: угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$ равен $\frac{1}{6}$.

Физическое истолкование: мгновенная скорость точки, движущейся по закону $y(x)$, в момент времени $x=1$ равна $\frac{1}{6}$.

Ответ: $y'(1) = \frac{1}{6}$.